第30讲 图形的旋转
1．理解旋转的概念，并掌握其性质． 2．能按旋转变换的要求作出简单的图形． 3．运用图形的旋转变换进行图案设计．
这部分内容重点考查图形的旋转变换的性质，与图形变换相关的计算 和逻辑推理证明等．常与三角形和四边形结合，在网格背景设置试题， 题型丰富，多为选择题、填空题、解答题．
解：(1)如图，△AEF就是所求作的三角形；点E的坐标是(3，3)，点F 的坐标是(3，－1)
(2)答案不唯一，如B(－2，0)等
1．(2017·预测)下列图形是中心对称图形的是( C ) 【解析】根据中心对称图形的特点即可求解.
1．中心对称：把一个图形绕着一点旋转________后，如果与另一个 图形重合，那么这两个图形叫做关于这一点成中心对称，这个点叫做 ________，旋转前后的点叫做________．
2．(2017·预测)下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (D )
3．下列标志中不是中心对称图形的是(C )
1．判断一个图形是否是中心对称图形，关键是要寻找对称中心，观察 它旋转180度后能否与原图形重合． 2．注意中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图 形绕对称中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称 轴——直线；图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．
1．旋转概念：在平面内，把一个平面图形绕着一个定点沿着________旋转一 定的________，图形的这种变换，叫做旋转变换．这个定点叫做旋转中心，这个 角度叫做________．图形的旋转由________和________所决定．
2．旋转性质： (1)图形上的每一点都绕着________沿着相同的方向旋转了________大小的角 度； (2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化 ，即它们是 ________的； (3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的______相等； (4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等，并且等于旋转角． 答案：1.一定的方向；角度；旋转角；旋转中心；旋转角 2.(1)旋转中心；相 同；(2)全等；(3)距离
3．(2015·金华)在平面直角坐标系中，点A的坐标是(0，3)，点B在x 轴上，将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△AEF，点O，B的对应点分 别是点E，F.
(1)若点B的坐标是(－4，0)，请在图中画出△AEF，并写出点E，F的 坐标．
(2)当点F落在x轴的上方时，试写出一个符合条件的点B的坐标．
【解析】首先证明△ACA1，△BCB1 是等边三角形，推出△A1BD 是 直角三角形即可解决问题．
解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，∴∠A＝90°－∠ABC ＝60°，AB＝4，BC＝2 3，∵CA＝CA1，∴△ACA1 是等边三角形， AA1＝AC＝BA1＝2，∴∠BCB1＝∠ACA1＝60°，∵CB＝CB1，∴△BCB1 是等边三角形，∴BB1＝2 3，∠A1BB1＝90°，∴BD＝DB1＝ 3，∴A1D ＝ A1B2＋BD2＝ 7
6．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4 6，AD＝10，连结 BD，∠DBC
的平分线 BE 交 DC 于点 E，现把△BCE 绕点 B 逆时针旋转，记旋转后
的△BCE 为△BC′E′，当射线 BE′和射线 BC′都与线段 AD 相交时，设交 98
1．(2016·大连)如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转的到△ADE，点 C 和点 E 是对应点，若∠CAE＝90°，AB＝1，则 BD＝___2_．
【解析】∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转到△ADE，点 C 和点 E 是 对应点，∴AB＝AD＝1，∠BAD＝∠CAE＝90°，∴BD＝ AB2＋AD2＝
2．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，能与原来位 置的图形重合，这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
3．性质： (1)关于某点成中心对称的两个图形是________； (2)关于某点成中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心， 并且被对称中心________． 答案：1.180°；对称中心；对称点 3.(1)全等图形；(2)平分
12＋12＝ 2
2．(2016·温州)如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋 转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A＝27°，∠B＝40° ，求∠ACB′度数．
解：∵∠A＝27°，∠B＝40°，∴∠ACA′＝∠A＋∠B＝27°＋40° ＝ 67° ， ∵ △ ABC 绕 点 C 按 顺 时 针 方 向 旋 转 至 △ A′B′C ， ∴ △ ABC≌△A′B′C ， ∴ ∠ ACB ＝ ∠ A′CB′ ， ∴ ∠ ACB － ∠ B′CA ＝ ∠ A′CB′ － ∠ B′CA ， 即 ∠ BCB′ ＝ ∠ ACA′ ， ∴ ∠ BCB′ ＝ 67° ， ∴∠ACB′＝180°－∠ACA′－∠BCB′＝180°－67°－67°＝46°
4．(2017·预测)将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角 坐标系中，OB在x轴上，若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75° ，则点A的对应点A′的坐标为( C)
A．( 3，－1) B．(1，－ 3) C．( 2，－ 2) D．(－ 2， 2)
【解析】先根据题意画出点 A′的位置，然后过点 A′作 A′C⊥OB，依 据旋转的定义和性质可得到 OA′的长和∠COA′的度数，即可求解．
如图所示：过点 A′作 A′C⊥OB.∵将三角板绕原点 O 顺时针旋转 75 °，∴∠AOA′＝75°，OA′＝OA.∴∠COA′＝45°.∴OC＝2× 22＝
2，CA′＝2× 22＝ 2.∴A′的坐标为( 2，－ 2)．故选 C.
5．(原创题)如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2， △ABC 绕点 C 顺时针旋转得△A1B1C，当 A1 落在 AB 边上时，连结 B1B， 取 BB1 的中点 D，连结 A1D，求 A1D 的长度．