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华东师大数学分析试题

华东师大2019年数学分析试题
一、(24分)计算题:
(1) 求011lim()ln(1)x x x
→-+; (2) 求32cos sin 1cos x x dx x
+⎰g (3) 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数,
试求grad z 。

二、(14分)证明:
(1)11(1)n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭
为递减数列: (2) 111ln(1),1,21n n n n
<+<=+⋅⋅⋅⋅ 一般说来,“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋(唐初学者,四门博士)《春秋谷梁传疏》曰:“师者教人以不及,故谓师为师资也”。

这儿的“师资”,其实就是先秦而后历代对教师的别称之
一。

《韩非子》也有云:“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形,但仍说不上是名副其实的“教师”,因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

三、(12分)设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性,而且f 在(a ,b )内可导,
'()f x K ≤ (K 为正常数)
,(,)x a b ∈ 证明:f 在点a 右连续,在点b 左连续。

四、(14分)设1
20(1)n n I x dx =-⎰,证明:
五、(12分)设S 为一旋转曲面,它由光滑曲线段
绕x 轴曲线旋转而成,试用二重积分计算曲面面积的方法,导出S 的面积公式为:
2(b a A f x π=⎰ 六、(24分)级数问题:
(1) 其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,
“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。


sin
,01,0()x x x x f x ≠=⎧=⎨⎩{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈⇒
⇒,求
()(0),1,2,k f k =L
(2) 宋以后,京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教
谕”。

至元明清之县学一律循之不变。

明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。

到清末,学堂兴起,各科教师仍沿用“教习”一称。

其实“教谕”在明清时还有学官一意,即主管县一级的教育生员。

而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。

“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。

于民间,特别是汉代以后,对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。

在一些特定的讲学场合,比如书院、皇室,也称教师
为“院长、西席、讲席”等。

设1n n a ∞=∑收敛,lim 0n x na →∞
=,证明:
111()n n n n n n a
a a ∞∞
+==-=∑∑。

(3) 设{}()n f x 为[]a,b 上的连续函数序列,且()()n f x f x ⇒,[]x a,b ∈,
证明:若()f x 在[]a,b 上无零点,则当n 充分大时,()n f x 在[]a,b 上也无零点;并有11()()
n f x f x ⇒,[]x a,b ∈。

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