题目A题：商业网点的布局和选点问题摘要：商业网点的选址与布局是企业经营管理战略决策中的重要内容之一。
地址一旦选定将会在很大程度上影响企业未来的规划与发展。
由于传统分析与研究方法的局限性，促使现代商业的发展迫切地需要新技术的支持以适应现代商业经营方式的根本性转变。
本论文通过对某城市X各区县的人数与收入进行分析，分别建立了数学模型，解决了如何选择网点使得总消费人数最多，总消费额最多。
利用遗传模型和进化策略算法求取了网点利用率尽可能高的问题。
利用洛伦兹曲线求取个组合的均衡度，综合考虑均衡度和网点利用率得出最优解决方案。
参赛队号 2商业网点的布局和选点问题摘要：商业网点的选址与布局是企业经营管理战略决策中的重要内容之一。
地址一旦选定将会在很大程度上影响企业未来的规划与发展。
由于传统分析与研究方法的局限性，促使现代商业的发展迫切地需要新技术的支持以适应现代商业经营方式的根本性转变。
本论文通过对某城市X各区县的人数与收入进行分析，分别建立了数学模型，解决了如何选择网点使得总消费人数最多，总消费额最多。
利用遗传模型和进化策略算法求取了网点利用率尽可能高的问题。
利用洛伦兹曲线求取个组合的均衡度，综合考虑均衡度和网点利用率得出最优解决方案。
关键词：商业网点布局、网点利用率、遗传模型、进化策略算法一、问题的背景与提出商业网点的分布与人口规模分布形态密切相关，一定规模或密度的人口是商业网点布局的必要条件。
同时，商业网点的分布还与该地区的收入水平有关。
人口数越多，收入水平越高，则消费和购物量相应扩大。
某公司要在城市X 建若干个商业网点。
该城市的区和县的分布如图1所示。
图1：城市X 的区县分布图城市X 的各区县的人口数和人均年收入如下表 区县ABCDEFGHIJKLM人数（千人） 450 432 570 204 157 183 194 380 586 604 477 471 270 收入（千元） 20 23 30 54 57 48 45 39 33 30 19 28 18据测算，如果在某个县（区）设立网点，则该县（区）50%人口和与之相邻的县（区）的10%的人口成为网点的消费人群。
（1） 建立数学模型分析：如果只设立两个网点，这两个网点设在哪些县（区），可使得总消费人数最多（每个县区的消费人群最多不超过75%）？（2） 如果消费者的消费额与其收入成比例，这两个网点设在哪里总消费额最高？（3） 设立网点的效率用 αK总消费人数=e DABC E FGHI K LM Jα。
建立数学模型分析在多少个县（区）设立描述，其中K是网点个数，9.0=网点，网点设在哪些县（区），可以在各区县的消费人数比较均衡的前提下，网点利用率尽可能高？二、基本假设1. 如果在某县（区）设立网点，则该县50%的人口和与之相邻的县（区）的10%的人口成为网点的消费人群。
2. 每个县区的消费人数最多不超过75%。
3. 消费者的消费额与其收入成比例，比例系数为1。
4. 如果二个区县存在交点就认为二区县相邻。
三、符号说明A……………………各区县间的关联矩阵a ij……………………矩阵A中的元素B……………………矩阵A变换得到的矩阵b ij……………………关联矩阵B中的元素C……………………矩阵A变换得到的矩阵c ij……………………矩阵C中的元素P……………………由各区县人数组成的矩阵I……………………由各区县人均年收入组成的矩阵D……………………A~M分别建x1~x13个网点时所对应的各县的消费人群比例矩阵K……………………总网点个数e……………………网点利用率η……………………平衡度θi……………………各个县的消费人群比例θave…………………各县消费人群比例平均值四、模型的建立于求解结合本题的背景知识，我们首先应该将各区县的位置分布图进行数学建模，即用关联矩阵表示出来，这样各区县的相邻与否就一目了然了。
在此基础上再逐个讨论下面的三个问题。
关联矩阵A表示为:1100000001100111111000100001110001000000111101100000010111100101001001110110100001111110000001100111000000000111100101100110001110100000000111100000100111110000000000111⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢=⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎦A ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥矩阵A 为13× 13的矩阵。
矩阵A 的13行与13列表示城市X 的13个区县。
矩阵A 的第一行表示A 区与其他各区县的关联情况，元素为1表示A 县与其他区县相邻，元素为0表示A 县与其他各县不相邻。
矩阵A 的第二行表示B 区与其他各区县的关联情况，依次类推。
1. 问题1问题1要求我们在只设立两个网点的情况下，如何安置这两个网点，可以使得总消费人数最多。
这就包含两种情况：一是这两个网点都安置在同一个县区，二是这两个网点安置在不同的两个县区。
1.1 两个网点安置在同一个县区根据基本假设1,如果在某县设立一个网点，则该县50%的人口和相邻县区10%的人口会成为消费人群。
由于两个网点安置在同一个区县，该县区消费人数最多为75%，因此该县75%的人口和相邻县区20%的人口会成为消费人群。
对矩阵A 中的元素按照如下规则进行修改，得到矩阵B 。
0.750.2i j ij i ja i jb a i j ⨯=⎧=⎨⨯≠⎩ 各区县人数组成矩阵P ，P 为13× 1的矩阵。
P =[450 432 570 204 157 183 194 380 586 604 477 471 270]T各区县分别设立两个消费网点带来的消费人群总数用矩阵R1表示，R1为13× 1的矩阵。
1=R B P矩阵R1各行分别表示在A 县、B 县.......M 县设置两个网点时总的消费人数。
利用Matlab 软件对上述数学模型变成求解可得R1=[640.1000 757.6000 630.7000 499.6000 535.3500 626.0500 447.5000 595.8000 685.1000 887.0000 716.7500 777.2500 392.1000]12345678910111213100200300400500600700800900县区编号总消费人数图1 各县区设立两个网点时X 市总消费人数各区县分别设立两个消费网点带来的消费人群总数可以用如下柱形图表示。
其中1,2,3,4,.....13代表从A,B,C,D......M 这13个区县。
因此，根据以上数学建模计算所得数据，可以得出结论，在J 点建立两个网点，消费人数最多为887千人。
1.2 两个网点安置在不同的县区 由于二个网点安置在不同县区，则各县区的消费人口均不会超过75%，因此 在一个网点所在县50%的人口和相邻县区10%的人口会成为消费人群。
两个网点带来的消费人群数相加即为总的消费人群。
对矩阵A 中的元素按照如下规则进行修改，得到矩阵C 。
0.50.1i j ij i ja i jc a i j ⨯=⎧=⎨⨯≠⎩ 各区县人数组成矩阵P ，P 为13× 1的矩阵。
P =[450 432 570 204 157 183 194 380 586 604 477 471 270]T各区县分别设立一个网点带来的消费人群数用矩阵R2表示，R2为13× 1的矩阵。
=R2C P矩阵R2各行分别表示在A 县、B 县.......M 县设置一个网点时总的消费人数。
利用Matlab 软件对上述数学模型变成求解可得R2=[ 376.3000 432.8000 386.6000 275.3000 287.3000 335.9000 248.0000 345.4000 415.8000 519.0000 418.0000 447.5000 229.8000]12345678910111213100200300400500600县区编号总消费人数图2 各县区设立一个网点时X 市总消费人数从R2选出两个最大值相加即可得到总消费人数最大值。
因此，根据计算结果可以得出结论，在J 县和L 县建立两个网点，消费人数最多为519+447=966千人。
1.3 结论比较1.1和1.2的计算结果，可以看出，在两个不同县区J 和L 设立两个网点时，消费人数最多为966千人人。
2. 问题2问题2要求我们求出这两个网点设在哪里，可以使消费额最高。
根据基本假设3，消费者的消费额与其收入成比例，比例系数为1。
总的消费额即为各区县的消费人数乘以消费额的总和。
各区县人均年收入用矩阵I 表示I =[20 23 30 54 57 48 45 39 33 30 19 28 18]T各区县总收入用矩阵T 表示，则T 各行为矩阵I 和矩阵P 各行对应元素相乘的乘积。
同问题一一样，我们将分两种情况对总消费额进行讨论。
2.1 两个网点安置在同一个县区各区县分别设立两个网点带来的消费人群数用矩阵S1表示，S1为13× 1的矩阵。
S1B T矩阵S1各行分别表示在A 县、B 县.......M 县设置两个网点时总的消费额。
利用Matlab 软件对上述数学模型变成求解可得S1=[ 14174 22046 19979 20169 20667 22240 19129 22352 23608 25374 15831 21924 8095]各区县分别设立两个消费网点带来的总消费额可以用如下柱形图表示。
其中1,2,3,4,.....13代表从A,B,C,D......M 这13个区县。
123456789101112130.511.522.53x 104县区编号总消费额图3 各县区设立两个网点时X 市总消费额因此，可以得出结论，在J 点建立两个网点，消费额最多为25374。
2.2 两个网点安置在不同的县区各区县分别设立两个网点带来的消费人群数用矩阵S2表示，S2为13× 1的矩阵。
2 S C T矩阵S2各行分别表示在A 县、B 县.......M 县设置一个网点时总的消费额。
利用Matlab 软件对上述数学模型变成求解可得S2=[ 8212 12265 12127 11462 11452 12218 10656 13028 14221 14952 9048 12611 4655]各区县设立一个消费网点带来的总消费额可以用如下柱形图表示。
其中1,2,3,4,.....13代表从A,B,C,D......M 这13个区县。
12345678910111213100020003000400050006000700080009000100001100012000130001400015000县区编号总消费人数图4 各县区设立一个消费网点时X 市总消费额从S2选出两个最大值相加即可得到总消费额最大值。