二次函数典型例题——最短路径
1、已知抛物线2:(1)1C y x m x =-++的顶点在坐标轴．．．
上． （1）求m 的值；
（2）0>m 时，抛物线C 向下平移n （n > 0）个单位后与抛物线C 1：c bx ax y ++=2关于y 轴对称，且1C 过点（n ，3），求C 1的函数关系式； （3）03<<-m 时，抛物线C 的顶点为M ，且过点P （1，y 0）问在直线1-=x 上是否存在一点Q 使得△QPM 的周长最小，如果存在，求出点Q 的坐标， 如果不存在，请说明理由．
（1）m 的值=1，-1，-3；
（2）C 1的函数关系式：22y x x =+;
（3）Q 的坐标4
(1,)3-.
2、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线211
24
y x =+
的顶点为M ，直线2y x =，点()0P n ，
为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线分别交抛物线211
24
y x =+和直线2y x =于点
A ，点
B .
⑴直接写出A ，B 两点的坐标（用含n 的代数式表示）；
⑵设线段AB 的长为d ，求d 关于n 的函数关系式及d 的最小值，并直接写出此时线段OB 与线段PM 的位置关系和数量关系；
(3)已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为整数且0a ≠），对一切实数x 恒有x ≤y ≤21
24
x +
，求a ，b ，c 的值. 解：(1)21
(2)4
A n n +，，()
B n n ，
. (2) d =AB =A B y y -=21
24
n n -+.
∴ d =2112()48n -+=211
2()48
n -+
∴ 当14n =时，d 取得最小值1
8
.
当d 取最小值时，线段OB 与线段PM 的位置 关系和数量关系是OB ⊥PM 且OB =PM . (如图10)
(3) ∵ 对一切实数x 恒有 x ≤y ≤21
24
x +
， ∴ 对一切实数x ，x ≤2ax bx c ++≤21
24
x +
都成立. (0a ≠) ① 图10
x
y
111
A
P
B
M
O
3、已知关于x 的一元二次方程()0312
=-+--m x m x ．
（1）求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根．
（2）若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2
的图象1C 的一个交点的横坐标为2，
求关于x 的一元二次方程()0312
=-+--m x m x 的解．
（3）在（2）的条件下，将抛物线()312
-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图
象2C ，点P 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于
N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标．
解：（1）证明：()[]()3412
----=∆m m
124122+-+-=m m m 1362
+-=m m
()432
+-=m
∵不论m 取何值时，()032
≥-m ∴()0432
>+-m ，即0>∆
∴不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根． （2）将2=x 代入方程()0312
=-+--m x m x ，
得3=m
再将3=m 代入，原方程化为022
=-x x ， 解得2,021==x x ． （3）将
3=m 代入得抛物线：x x y 22-=，将抛物线
x x y 22-=绕原点旋转︒180得到的图象2C 的解析式为：x x y 22--=．
设()0,x P
则(
)
3,2
+x x M ，(
)
x x x N 2,2
--
()()
25212322232
222+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+=++=---+=x x x x x x MN
∴当2
1
-=x 时，MN 的长度最小，
此时点P 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,21
（昌平）27．已知抛物线2y ax bx c =++经过原点O 及点A （-4，0）和点B （-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标；
（2）如图1，将直线2y x =沿y 轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C ，平移后的直线与y 轴交于点D ，求直线CD 的解析式；
（3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD 距离最短的点的坐标及该最短距离．
y
x
图1
B
A
C
D O y
x
图2
C
D O
解：（1）∵ 抛物线经过()0,0，()4,0- ，()6,3-三点，
∴ 0
1640,366 3.c a b a b =⎧⎪
-=⎨⎪-=⎩ ………………………………………… 1分
解得 1410a b c ⎧=⎪⎪
=⎨⎪=⎪⎩
，，． …………………………… 2分
∴ 抛物线的解析式为21
4
y x x =+．
∵()()2
2211144421444
y x x x x x =+=++-=+-
∴抛物线的顶点坐标为()2,1-- ……………3分 （2）设直线CD 的解析式为2y x m =+，
根据题意，得
2
124
x x x m +=+， …………… 4分 化简整理，得2440x x m --=，
由16160m ∆=+=，解得1m =-， ……………… 5分
∴直线CD 的解析式为21y x =- ．
（3）点的坐标为()2,7， …………………………… 6分
． ……………………… 7分。