［陈书4－8］测量流速的皮托管如图所示，设被测流体的密度为ρ，测压管内液体密度为1ρ，测压管内液面的高度差为h 。

假定所有流体为理想流体，皮托管直径很小。

试证明所测流速
ρ
ρρ-=
12gh
v
［证明］沿管壁存在流线，因此可沿管壁列出理想流体的Bernoulli 方程：
g
p g
V z g
p g
V z ρρ2
2
2
21
2
1
122+
+
=+
+
（1）
其中点1取在皮托管头部（总压孔），而点2取在皮托管环向测压孔（静压孔）处。

因流体在点1处滞止，故：01=V
又因皮托管直径很小，可以忽略其对流场的干扰，故点2处的流速为来流的速度，即： 2V v =
将以上条件代入Bernoulli 方程（1），得：
()⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-+-=
g p p z z g v ρ21
212 （2）
再次利用皮托管直径很小的条件，得：021=-z z 从测压管的结果可知：()gh p p ρρ-=-121
将以上条件代入（2）式得：ρ
ρρ-=12gh
v
证毕。

［陈书4－13］水流过图示管路，已知21p p =，mm 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h 。

不计损失，求2d 。

［解］因不及损失，故可用理想流体的Bernoulli 方程： g
p g
v z g
p g
v z ρρ2
2
2
21
2
1
122+
+
=+
+
（1）
题中未给出流速沿管道断面的分布，再考虑到理想流体的条件，可认为流速沿管道断面不变。

此外，对于一般的管道流动，可假定水是不可压缩的，于是根据质量守恒可得：
2211A v A v =
（2）
其中1A 和2A 分别为管道在1和2断面处的截面积：
4
2
11d A π=
，4
2
22d A π=
（3）
方程（1）可改写为： ()g
p p g
v z z g
v ρ2
12
1
212
2
22-+
+
-= （4）
根据题意：021=-p p ，h z z =-21 （5）
将（5）代入（4），得：
g
v h g
v 222
1
2
2
+
= （6）
再由（2）和（3）式可得：4
4
2
22
2
11
d v d v ππ=
所以：2
2
2
11
2d
d v v = （7）
将（7）式代入（6）得：
g
v h g
d d v
222
1
4
2
41
21
+
=
整理得：
21
2
1
42
4
12v
v gh d
d +=
14
2
1
2
1
22d v gh v d +=
（8）
将mm 3001=d ，s m 61=v ，m 3=h ，2
s m 8.9=g 代入（8）式，得：
()mm 236m 236.03.036
8.96364
2==⨯+⨯=
d
［陈书4－19］图示两小孔出流装置，试证明不计流动损失时有关系式()22211y h y y h =+。

（此题陈书2y 的标注有误）
［证明］因不计损失，可视流体为理想流体，则位于1h 深度处的小孔出流速度为：
112gh v =
同样，位于1h 深度处的小孔出流速度为：222gh v =
流出小孔后流体做平抛运动，位于1h 深度处的小孔出流的下落时间为：
()g
y y t 2112+=
故其射的程为：()()121211
1112
22h y y g
y y gh t v s +=+==
同理，位于2h 深度处的小孔出流的射程为：2222
2212
22h y g
y gh t v s ===
根据题意：21s s = 所以：()2212122
h y h y y =+
于是：()22121h y h y y =+。