一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解．例1：下面哪些数是方程0121022=++x x 的根？—4、—3、—2、—1、0、1、2、3、4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可． 复习()2222b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=-根据公式完成下面的练习：(1)()22____________8-→+-x x x (2)()22______3______129+→++x x x(3)()22____________+→++x px x (4) ()22____________6+→++x x x(5)()22____________5-→+-x x x (6) ()22____________9-→+-x x x例2：解方程：2963=++x x 2532=-x x解：由已知，得：()232=+x 解：方程两边同时除以3，得32352=-x x 直接开平方，得：23±=+x 配方，得22265326535⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x即23=+x ，23-=+x 即 3649652=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ，6765±=-x ，6765±=x所以，方程的两根231+-=x ，232--=x 所以，方程的两根267651=+=x ，3167652-=-=x 像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。

练一练：(1)982=+x x (2)015122=-+x x (3)04412=--x x(4) 03832=-+x x (5)08922=+-x x (6) ()x x 822=+练一练一、选择题1．方程()21=-x x 的两根为（ ）．A ．1,021==x xB ．1,021-==x xC ．2,121==x xD ．2,121=-=x x 2．方程()()0=-+-x b b x ax 的根是（ ）． A ．a x b x ==21, B ．a x b x 1,21== C ．ax a x 1,21== D ．2221,b x a x == 3．已知1-=x 是方程02=++c bx ax 的根，则bcb a +()0≠b =（ ）． A ．1 B ．－1 C ．0 D ．24．若()224q x p x x +=+-，那么q p 、的值分别是（ ）．A ．2,4==q pB ．2,4-==q pC ．2,4=-=q pD ．2,4-=-=q p 5．方程0932=+x 的根为（ ）．A ．3B ．－3C ．±3D ．无实数根 6．用配方法解方程01322=+-x x 正确的解法是（ ）． A ．32231,98312±==⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x B ．98312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ，原方程无解C ．352,3532,9532212-=+==⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x D ．31,35,132212-===⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x 二、填空题1．如果0812=-x ，那么0812=-x 的两个根分别是1x =________，2x =__________． 2．已知方程0652=-+mx x 的一个根是3=x ，则m 的值为________． 3．方程()()01212=+++x x x ，那么方程的根1x =______；2x =________．4．若01682=-x ，则x 的值是_________．5．如果方程()72322=-x ，那么，这个一元二次方程的两根是________．6．如果b a 、为实数，满足03612432=+-++b b a ，那么ab 的值是_______． 三、综合提高题如果关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：1-必是该方程的一个根．一元二次方程公式法一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根由方程的系数c b a 、、而定，因此：1）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式()002≠=++a c bx ax ，当042≥-ac b 时，•将c a 、、b 代入式子aacb b x 242-±-=就得到方程的根。

（公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六种运算，）2）这个式子叫做一元二次方程的求根公式。

3）利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。

4）由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。

例1．用公式法解下列方程．0122=--x x分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。

解：112-=-==c b a 、、()()9811241422=+=-⨯⨯--=-ac b()4312291±=⨯±--=x21,121-==x x练一练：用公式法解下列方程．（1）()()0532=--x x （2）x x 35.12-=+ （3）02122=+-x x （4）02342=+-x x一、选择题1．用公式法解方程31242=-x x ，得到（ ）。

A ．263±-=x B ．263±=x C ．2323±-=x D ．2323±=x 2．方程0263422=++x x 的根是（ ）。

A ．3,221==x xB ．2,621==x xC ．2,2221==x xD ．621-==x x3．()()0822222=----n mnm ，则22n m -的值是（ ）。

A ．4B ．﹣2C ．4或﹣2D ．﹣4或2二、填空题1．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是___ ____，条件是___ _____．2．当=x ______时，代数式1282+-x x 的值是﹣4．3．若关于x 的一元二次方程()032122=-+++-m m x x m 有一根为0，则m 的值是__ ___．三、拓展题某数学兴趣小组对关于x 的方程()()012122=--+++x m x m m提出了下列问题。

若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m 并解此方程．根据求根公式判别一元二次方程根的情况求根公式：aacb b x 242-±-=。

1）当042ac b -时，根据平方根的意义，ac b 42-等于一个具体数，所以一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的a acb b x a ac b b x 24242221---=≠-+-=，即有两个不相等的实根，即aacb b x a ac b b x 24242221---=-+-=，。

2）当042=-ac b 时，根据平方根的意义042=-ac b ，所以一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的a b x x 221-==，即有两个相等的实根，即ab x x 221-==。

3）当042ac b -时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以一元二次方程()002≠=++a c bx ax 没有实数解。

例1．不解方程，判定方程根的情况（1）38162-=+x x （2）01692=++x x （3）08922=+-x x （4）01872=--x x 分析：不解方程，判定根的情况，只需用ac b 42-的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．巩固练习一、不解方程判定下列方程根的情况: （1）026102=++x x （2）0432=--x x （3）05632=-+x x （4）016142=+-x x（5）04132=--x x （6）0642=-x x （7）()x x x 8542-=- （8）()()0532=--x x二、选择题1．以下是方程1232-=-x x 的解的情况，其中正确的有（ ）．A ．∵842-=-ac b ，∴方程有解B ．∵842-=-ac b ，∴方程无解 C ．∵842=-ac b ，∴方程有解 D ．∵842=-ac b ，∴方程无解 2．一元二次方程012=+-ax x 的两实数根相等，则a 的值为（ ）．A ．0=aB ．22-==a a 或C ．2=aD ．02==a a 或 3．已知1≠k ，一元二次方程()0112=++-kx x k 有根，则k 的取值围是（ ）．A ．2≠kB ．2 kC ．12≠k k 且D ．k 为一切实数 三、填空题1．已知方程02=++q px x 有两个相等的实数，则p 与q 的关系是___ _____．2．不解方程，判定x x 4322=-的根的情况是_____ _（•填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）． 3．已知0≠b ，不解方程，试判定关于x 的一元二次方程()()02222=-+++-bab a x b a x 的根的情况是________． 四、综合提高题1．不解方程，判别关于x 的方程()01222=-+-k kx x 的根的情况．2、若关于x 的一元二次方程()01222=++--a ax x a 没有实数解，求03 +ax 的解集（用含a 的式子表示）．一元二次方程因式分解法解下列方程。

022=+x x方程中没有常数项；左边都可以因式分解:可以写成：()012=+x x两个因式乘积要等于0，至少其中一个因式要等于0，也就是0120=+=x x 或，所以21,021-==x x因此，我们可以发现，上述两个方程中，其解法都不是用开平方降次，而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法．用因式分解法解方程(1)09.4102=-x x (2)()022=-+-x x x (3) ()()22231x x -=- 思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？（方程一边为0，另一边可分解为两个一次因式乘积。

）1．下面一元二次方程解法中，正确的是（ ）．A ．()()21053⨯=--x x ，∴25,103=-=-x x ，∴7,1321==x xB ．()()025522=-+-x x ，∴()()03525=--x x ，∴53,5221==x x C ．()0422=++x x ，∴2,221-==x xD ．x x =2两边同除以x ，得1=x一、填空题1．x x 52-因式分解结果为___ ____；()()3532---x x x 因式分解的结果是_ _____．2．方程()12122-=-x x 的根是_____ ___．3．二次三项式96202++x x 分解因式的结果为____ ____；如果令096202=++x x ，那么它的两个根是_________．二、综合提高题1．用因式分解法解下列方程．(1)0632=-y y (2)016252=-y (3)028122=--x x (4)035122=+-x x2．已知()()01=-++y x y x ，求y x +的值．说明:一元二次方程解法的选择顺序一般为因式分解法、公式法，若没有特殊说明一般不采用配方法。