(2) ρxy.
(1)
(2)(X,Y)的分布律为
Y X
0
1
-1
0
1
习题 4.1 1. 设随机变量 X 的概率密度为
(1) 求 E(X)
其他
(2)
解: (1)
(2) 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为
试确定常数 a,b,并求 E(X). 解:
(1)
其他
又因当
时
(2) 3. 设轮船横向摇摆的随机振幅 X 的概率密度为
的导数为 的导数为
即 即
求 E(X). 解:
4. 设 X1, X2,….. Xn 独立同分布,均值为 ,且设
D. (X,Y)~N(
)
解: 与 不相关 ρ
5. 设二维随机变量(X,Y)~N(
A.
B. 3
C. 18
解: ρ
),则 Cov(X,Y)= B . D. 36
6. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间[-1,3]和[2,4]上服从均匀分布,则 E(XY)= A .
A. 3
B. 6
C. 10
解: Cov(X,Y)=0
2. 设随机变量 X 的分布律为 3 .
X
-1
0
1
2

P
0.1 0.2 0.3 0.4
令 Y=2X+1,则 E(Y)=
3
.
解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=3
3. 已知随机变量 X 服从泊松分布,且 D(X)=1,则 P{X=1}=
2
0.3 0.1 0.2
求 E(X).
解:
8. 设随机变量 X 的概率密度为
其他 且 E(X)=0.75,求常数 c 和 .
解:
习题 4.2
1. 设离散型随机变量 X 的分布律为
X
-1
0
0.5
1
2
P
0.1 0.5 0.1 0.1 0.2
求
解:
2. 盒中有 5 个球,其中有 3 个白球,2 个黑球,从中任取两个球,求白球数 X 的期望和方差. 解: X 的可能取值为 0,1,2
2. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求 Cov(X,Y). 解:
其他
3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
求 X 与 Y 的相关系数 ρxy. 解:
其他
运用分部积分法. 服从λ =1 的指数分布
所以 ρ
4. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概 率密度函数 f(x,y). 解:
3. 已知 D(X)=25,D(Y)=1, ρxy=0.4, 则 D(X-Y)= B .
A.6 B. 22 C. 30 D. 46
4. 设(X,Y)为二维连续随机变量,则 X 与 Y 不相关的充分必要条件是 C .
A. X 与 Y 相互独立
B. E(X+Y)=E(X)+E(Y)
C. E(XY)= E(X)E(Y)
注意此处不可以用二项分布式:
3. 设随机变量 X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为
求 D(X+Y).
解: 4. 设随机变量 X 的概率密度为
其他
求 D(X) 解:
= 5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=1,D(Y)=2,求 D(X-Y).
解: 6. 若连续型随机变量 X 的概率密度为
(1)
,其中 n 为正整数.
(2)
五、 设随机变量 X1 与 X2 相互独立,且 X1~N( ), X2~N( 求: (1)D(X), D(Y); (2)X 与 Y 的相关系数 ρxy. 解: (1)
).令 X= X1+X2, Y= X1-X2.
(2)
六、 设随机变量 X 的概率密度为
(1) 求 E(X),D(X);
B. E(X)=2, D(X)=4
C. E(X)=0.5, D(X)=4
D. E(X)=2, D(X)=0.25
解: 指数分布的
2. 设随机变量 X,Y 相互独立,且 X~B(16,0.5),Y 服从参数为 9 的泊松分布,则 D(X-2Y+1)= C . A.-14 B. 13 C. 40 D. 41 解:
D. 12
解:
7. 设二维随机变量(X,Y)~N(
),Ø (x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C .
A. X 与 Y 都服从 N(0,1)正态分布
B. X 与 Y 相互独立
C. Cov(X,Y)=1
D. (X,Y)的分布函数是
二、 填空题
1. 若二维随机变量(X,Y)~N(
),且 X 与 Y 相互独立,则 ρ= 0 .
(2) 令
,求 Y 的概率密度 fY(y).
解:
(1)
(2)
由 Y=2X-1 得
, X’=
=
七、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
其他
求: (1)E(X+Y); (2)E(XY); (3)
.
解:
(1)
(2)
(3)
八、 设随机变量 X 的分布律为
X
-1
0
1
P
记 Y=X2,求: (1)D(X), D(Y); 解:
8. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=2, D(Y)=1,则 D(X-2Y+3)= 6 . 三、 设随机变量 X 的概率密度函数为
其他
试求: (1)E(X), D(X); (2)
.
解:
(1)
(2) 四、 设随机变量 X 的概率密度为
其他
试求: (1)E(X), D(X); (2) 解:
解: 5. 设(X,Y)的概率密度为
求 E(X+Y). 解:
其他
,求 E(Y).
6. 设随机变量 X1, X2 相互独立,且 X1, X2 的概率密度分别为
求: 解: (1) (2)
该题服从指数分布,
故 E(X)=
(3)
7. 已知二维随机变量(X,Y)的分布律为
Y X
0
1
2
1
0.1 0.2 0.1
其他 且 E(X)=0.5,D(X)=0.15.求常数 a,b,c. 解:
此为奇函数,故=0 正负无
穷带入结果都一样,故 =
解得 a=12,b=-12,c=3.
习题 4.3
1. 设两个随机变量 X,Y 相互独立,方差分别为 4 和 2,则随机变量 3X-2Y 的方差是 D .
A. 8
B. 16
C. 28 D. 44
.
解:
4. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)= D(Y)=1,则 D(X-Y) = 2
.
5. 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布,
=6
.
解:
6. 设 X 为随机变量,且 E(X)=2, D(X)=4,则
=
8
.
7. 已知随机变量 X 的分布函数为
则 E(X) = 2 . 解:
其他
ρ
ρ
ρ
ρ
5. 证明 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y). 证:
6. 设(X,Y)的协方差矩阵为 解:
,求 X 与 Y 的相关系数 ρxy.
ρ
自测题 4
一、 选择题
1. 设随机变量 X 服从参数为 0.5 的指数分布,则下列各项中正确的是 B .
A. E(X)=0.5, D(X)=0.25