？
高斯定理的导出
点电荷电场强度公式 电场强度叠加原理
高斯 定理
点电荷位于球面中心
E
S
q 4π 0r
S
2
r
2
dS
+
Φe E dS
q 4π 0r
dS
Φe
q
0
Φe
q
4 π 0

dS＇ q 2
r
0
dΦe
q 4π 0r
2
dS cos

q
q2
S
0 S面内 e E dS S 1 ( q1 q2 q3 )
i
q
0
证明： 1）仅有一个点电荷
e E dS
S
Sn
B）点电荷在S面外：
A）点电荷在S面内：
E
q
+
q E dS
Sn
S
0
E
e E dS
q
q1
i
S面内电荷代数和
3） 当
e 0
时，
q 0
i
面内有净正电荷，并非 一定仅只有正电荷
+
q2
-
S
q1 q2
1 e E dS
S
当
e 0
时，
q 0
i
0 S面内q2
+
面内有净负电荷，并非 一定仅有有负电荷
S
q1 q2
i
当
e 0
i（外）


S
Ei dS 0
i（外）

Ei dS
Φe
i（内）

S
1 Ei dS
0
i (内）
q
i
1 高斯定理 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
i
说明 1）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度. 2）高斯面为封闭曲面.
3）穿进高斯面的电场强度通量为负，穿出为正.
4）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献.
5）静电场是有源场.
讨论
将 q2 从
A
移到
点 P 电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 有否变化？
B q2 A P*
q2 B
s
Φe
s
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三 个闭合面 S1 , S 2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量 .
q Φe1 E dS
S1
Φe 2 0
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3
第二节
第四章
四
高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
其步骤为: 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
※求电场强度E的方法： ①.电场强度叠加原理； ②.高斯定理；
i（外） S
Φe
i（内）

S
1 Ei dS
0
i (内）
q
i
第二节 高斯定理的数学表达式：
第四章
1 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
i
高斯定理的含义： 在真空中，通过任一闭合曲面的电场强度通量,等于该曲面所包围的所有电荷 电量的代数和的1/0倍。
思考
1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s的 Φ 有贡献 e
？
q>0, Φe>0, 说明电场线从封闭面内发出，正电荷是源； q<0, Φe<0, 说明电场线向封闭面内汇聚，负电荷是尾；
静电场是有源场，正负电荷是场源.
第二节
通过闭合曲面的电通量为零,则说明（ ）
第四章
S
q
+
S
0
2）S面内有
q1, q2, qn qn 1, qn 2, qn k
n个电荷。
S面外有
k个电荷。
q1 + + e E dS q 4 S ( E1 E2 Enk ) dS
S
+ -
q2
q3
E1 dS E2 dS S En dS n S S En1 dS En 2 dS En k dS S S S n K n q1 q2 qn 0 0 1 qi
三
高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量, 等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 . （与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
1 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
i
请思考：1）高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s的 Φ 有贡献 e
Φe ES cos
en

S
Φe E S

E
3、非均匀电场的电通量
dΦe E dS
S 为任意曲面
dS dS en
Φe dΦe E cos d S S s E dS en Φe E dS s
第四章
Φe E dS Ei dS
S S i
q1 , q2 ......... qi E E1 E2 Ei
由点电荷系产生的电场
q1
q2
E
dS
s
qi
Ei dS Ei dS S S i (内） i（外） Ei dS 0
(1)曲面上各点的电场强度一定为零；
(2)闭合曲面内一定没有电荷存在； (3)闭合曲面内电荷的代数和一定为零；
(4)闭合曲面内电荷的代数和不一定为零；
第二节
讨论
第四章 将 q2 从
A
移到
点 P 的电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 有变化？
B , q2 A P
q2 B
s
Φe
s
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三 个闭合面 S1 , S 2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量 .
dΦ 1 dΦ 2 0
q
E2
dS 2
dS1
E1
E dS 0
S
由多个点电荷产生的电场
E E1 E2
S S i
q1
q2
E
dS
Φe E dS
Ei dS
s
S
qi

i (内）

S
Ei dS
dS＇

4 π 0 r 2
+
dS＇
dS ＇ d S
q
其中立体角
4 π 0

r2
dS＇ dΩ 2 r
q Φe d Ω 4 π 0 0 q
r

dS ＇
dS
点电荷在封闭曲面之外
dΦ 1 E 1 dS1 0 dΦ2 E2 dS2 0
q Φe1 E dS
S1
Φe 2 0
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3
第二节
第四章
三.
高斯定理
高斯定理：是关于电场线、电荷分布、空间曲面三者之间的关系；
高斯定理的导出
库仑定律 电场强度叠加原理
高斯 定理
第二节 点电荷位于球面中心
第四章
E
q 4π 0r
S
dS
ˆ n
2）高斯面是简单而又便于计算的平面或曲面。
ˆ n
E
3）高斯面上的场强为所求。
•重要应用——计算带电体周围电场的电场强度。 •要求——场强分布具有一定的对称性时 •关键——选取适当的高斯面。 •常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布
轴对称分布
无限大平面电荷：
步骤：
1.进行对称性分析 2. 适当的高斯面，要求： ①求场强的点应在此高斯面上 ②电通量容易计算 高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到 积分号外面； 3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，由高斯定 理求出场强。
1).球对称性：带电球面（体） 2).轴对称性：无限长带电直线 3).面对称性：无限大带电平面
三、高斯定理
穿出任一闭合曲面的电通量 等于该曲面 内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与 闭合面外的电荷无关。
e
0
1 e E dS
S
例：
q4 q5
-
q6
+
+
+
q1 q3
+ -
-
q3
S
四、利用高斯定理计算具有对称性分布的电场 若某个电场可找到这样的高斯面，高斯面上 的场强处处相等或分区域相等，则：
E cos dS
S
S面是一个简单易求的曲面面积：
1
0
1
S面内
q
i
1 E
cos dS
S
0
q
S内
i

cos S
0
q
S内
i
这样的高斯面通常应满足：