新的最优生产计划为每天生产1产品：7/2件 生产2产品：0件；生产3产品：3/4件。
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4、分析参数 aij的变化
参数 aij的变化导致系数阵A的元素发生变化。相当于增 加1个新变量（系数阵A增加1列），如果 xj在最终单纯 形表中为基变量，则aij 的变化会使相应的B ,B-1 发生变 化，有可能出现原问题与对偶问题无可行解的情况。引
Hale Waihona Puke 运筹学教程2、分析bi（右端常数）变化：
当bi发生变化时，将影响所有基变量的取值。 1 因为： X B B b 若bi的变化→
①保持B-1b≥0,当前的基仍为最优基，最优解的结构 不变（取值改变）； ②（B-1b）<0,当前基为非可行基,但是仍保持为对偶 可行基, 可用对偶单纯形法求出新的最优解；
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例1-1:(1)如果产品1的利润降至1.5元/件，产品2的利润增加 至2元/件，工厂的最优生产计划？
（2）如果产品1的利润不变，则产品２的利润在什么范围内变 化，工厂的最优生产计划不变？ 解（1）将产品1，2的利润变化直接反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 1.5 x1 7/2 2 x2 3/2 Cj-Zj
1 ' 1 P6 B P6 0 0
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Cj CB 0 2 1 基 b x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 5/4 ¼ -1/4 -1/4
0 3 x5 x6 -15/2 -7 -1/2 0 3/2 2 -1/2 1
1.5 2 X1 x2 0 0 1 0 0 1 0 0
0 x3 1 0 0 0
0
0
x4 x5 [5/4] -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2 1/8 -9/4
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Cj CB 基 b 0 x4 6 1.5 x1 2 2 x2 3 Cj-Zj
1.5 2 X1 x2 0 0 1 0 0 1 0 0
进人工变量，使用单纯形法计算。
如果该厂生产的产品2，生产一件所需要设备A,B
以及调试工序的时间分别变为8h,4h,1h，该产品的 利润变为3元/件，对该公司的最优生产计划有何改 变？
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解：将改变的产品看作是一件新的产品，生产量X2’
8 8 ' 4 , 2 3 ( 0 ,1 / 4 ,1 / 2 ) 4 3 / 2 1 1 1 0 0 5 4 1 4 1 4 15 2 8 11 / 2 1 4 1/ 2 2 3 1 1 / 2 2
-M x6 1/24 1/12 -1/8 -M+5/24
最优生产计划每天生产1产品11/4件；
新产品15/8件。
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5、 增加1个约束条件： 相当于系数阵A增加1行 首先将原最优解代入新增约束检查是否 满足？是，则说明新增约束不影响最优 解。否则再作下面的讨论：
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仍然来看例1-1： （1）如果设备A和调试工序的每天的能力不变，设备B每 天的能力增加到32h，分析公司最优的生产计划的变化； （2）如果设备A和设备B每天的能力不变，则调试工序在 什么范围内变化，问题的最优基不变。
解：（ 1） 0 b 8 0 1 ' 1 b B b 0 0 5/4 1/ 4 1/ 4 15 / 2 0 10 1/ 2 8 2 3 / 2 0 2
C 2 3, P
'
' 2
P2 B P
''
1
' 2
将其反映到单纯形表
Cj CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1 x2 3/2 Cj-Zj Cj 基 b x3 -9 2 x1 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0 2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0 1 x2 0 0 1 0

N
CN CBB
1
N
例：c4发生变化时， 4 0 ，最优解不变 否则 4 >0,可使用原单纯形法继续迭代求出新 的最优解。
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（2）当cj是基变量的价值系数——它的变化 将影响所有非基变量的检验数.

N
CN CBB
1
N
当cj变化时，如能保持 N 0 ，则当前解仍为 最优解，否则可用单纯形法继续迭代求出新 的最优解。
2 X1 0 1 0 0
1 + 0 x2 x3 0 1 0 0 1 0 0 0
0
0
x4 x5 5/4 -15/2 ¼ -1/2 -1/4 3/2 -1/4+ /4 -1/2-3 /2
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1 4


4
0,
1 2

3 2
0

1 3
1
所以产品利润的变化 范围应满足： 2 3 c2 2
回答两个问题：
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①这些系数在什么范围内发生变化时，最优 基不变（即最优解或最优解结构不变）？ ②系数变化超出上述范围时，如何用最简便 的方法求出新的最优解？ 二、 进行灵敏度分析的基本原则
1、在最优单纯形表的基础上进行；
2、尽量减少附加计算工作量；
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3、灵敏度分析的步骤：
（1）将参数的改变通过计算反映到单纯形表。
参数aij,bi,cj 的变化引起的单纯形表上的有关 数字的变化：
b B b
' 1
Pj B Pj (c j z j ) c j
'
'
1
a
i 1
m
ij
yi
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（2）、检查原问题是否仍为可行解。
（3）、检查对偶问题是否仍为可行解。
原问题
可行解 可行解 非可行解 非可行解
b 列数字为
当b≥0问题的最优基不变，
解得： 1 1
所以调试能力在4~6h
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3、增加一个变量xj的分析
分析步骤： 1、计算 2、计算 3、如果 如果
' j

P
' j
c
j
j
z
1
j
c
j


m
a ij y i
i 1
'
B
Pj

' j
0 , 最优解不变；
0 , 继续计算。
原问题与对偶问题均为非可行解，先使原问题转化为可行解 第一行的约束：x3+4x4-24x5=-9,乘以（-1），加上人工变 量 -x3-4x4+24x5 +x6 =9
Cj CB -M 2 3 基 b x6 9 x1 2 x2’ 3 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0
3 0 x 2’ x 3 0 -1 0 0 1 0 0 -M
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第五节 灵敏度分析
一、灵敏度分析的含义和内容
1、灵敏度分析：对系统或事物因周围条 件变化显示出来的敏感程度。 研究线性规划模型某些参数或限制量的 变化对最优解的影响称为灵敏度分析。
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2、灵敏度分析的内容： 目标函数的系数变化对最优解的影响； 约束方程右端系数变化对最优解的影响； 约束方程组系数阵变化对最优解的影响 ；
用单纯形法求解如下：
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CB 0 2 1
Cj 基 b x3 15/2 x1 7/2 x2 3/2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
1 x2 0 0 1 0
0 x3 1 0 0 0
0 x4 5/4 ¼ -1/4 -1/4
0 x5 -15/2 -1/2 3/2 -1/2
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1、价值系数Cj变化 （1）当cj是非基变量的价值系数——它的变 化只影响 j 一个检验数。
1 ' 1 b B b 0 0 反映到单纯形表， 15 15 2 2 7 1 b 2 2 3 3 2 2
5/4 1/ 4 1/ 4
15 / 2 0 15 / 2 1/ 2 0 /2 3 / 2 3 / 2
对偶问题
可行解 非可行解 可行解 非可行解
结论或继续计算的步骤
问题最优解或最优基不变 单纯形求解最优解 对偶单纯形求解最优解 引进人工变量，新单纯形 表重新计算
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三、 灵敏度分析举例： 例1-1
max Z 2 x1 x 2 5 x 2 15 6 x1 2 x 2 24 s .t . x1 x 2 5 x1 , x 2 0
0 0 x3 x4 4/5 1 -1/5 0 1/5 0 -1/10 0
0 x5 -6 1 0 -3/2
随利润的变化，调整如下：
生产产品1为2件，产品2为3件。
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解（2）设产品2的利润1+ 直接反映到单纯形表
Cj
CB 基 b 0 x3 15/2 2 x1 7/2 1+ x2 3/2 Cj-Zj
CB 0 2 1
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CB 0 2 0
Cj 基 b x3 15 x1 5 x4 2 Cj-Zj
2 X1 0 1 0 0
1 x2 5 1 -4 -1
0 x3 1 0 0 0
0 x4 0 0 1 0
0 x5 0 1 -6 -2