运筹学灵敏度举例
1．已知以下线性规划问题
max z= 2x 1 +x 2
-x 3 s.t. x 1 +2x 2 +x 3 ≤8 -x 1 +x 2 -2x 3
≤4
x 1,
x 2,
x 3
≥0 的最优单纯形表如下：
z x 1 x 5
(1) 求使最优基保持不变的c 2=1的变化范围
C 2 1+δ
-1 0 0 0
C B z 2 x 1 0
x 5
3-δ≥0，δ≤3，即c 2≤4。

当c 2=5
，即δ=4
z x 1 8/2 x 5
12/3
x
2进基，x 1离基
z x 2 x 5
新的最优解为x 1=0，x 2=0，x 3=0，x 4=0，x 5=0，max z=20 (2) 对c 1=2进行灵敏度分析
C 2+δ
1 -1 0 0 0
C B z 2+δ x 1 0
x 5
3203020+≥+≥+≥⎧⎨⎪⎩⎪δδδ，δδδ≥-≥-≥-⎧⎨⎪
⎩
⎪3232/，当δ≥-3/2时，即c 1≥1/2时，最优基保持不变。

当c 1=4时，δ=4-2=2，最优基保持不变，最优解的目标函数制为z=16+8δ=32。

（3）增加一个新的变量x 6，c 6=4，a 612=⎡⎣⎢⎤⎦
⎥。

[]
z c c T
666620124242-=-=⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥-=-=-W a
Y B a 61
610111213==⎡⎣⎢⎤⎦⎥⎡⎣⎢⎤⎦⎥
=⎡⎣⎢⎤
⎦
⎥- 新的单纯形表为
z x 1 x 5
x 6进基，x 5离基
z x 1 x 6
新的最优解为x 1=4，x 2=0，x 3=0，x 4=0，x 5=0，x 6=4，max z=24。

（4）增加一个新的约束x 2+x 3≥2，求新的最优基和最优解。

z x 1 x 5 x 6
3/1
3/1
用对偶单纯形法求解
z x
x x x x x RHS
z x 1 x 5 x 2
新的最优解为x 1=4，x 2=2，x 3=0，x 4=0，x 5=6，x 6=0，max z=10。

2．
(1)利润最大化的线性规划模型为：
max z= 25x1+12x2+14x3+15x4
s.t. 3x1+2x2+x3+4x4≤2400
2x1+2x3+3x4≤3200
x1+3x2+2x4≤1800
x1, x2, x3, x4≥0
单纯形表为：
z
x5
x6
x7
x1进基，x5离基
z
x1
x6
x7
x3进基，x6离基
z
x1
x3
x7
x2进基，x1离基
z
x2
x3
x7
最优解为：x1=0，x2=400，x3=1600，x4=0，x5=0，x6=0，x7=600，max z=27200
即最优生产计划为：产品A不生产；产品B生产400万件；产品C生产1600万件；产品D不生产，最大利润：27200万元。

原料甲：耗用2400吨，没有剩余；原料乙：耗用3200吨，没有剩余；原料丙：耗用1200吨，剩余600吨。

（问三种原料的利用率？）
（2） 产品A 利润变化范围： -C -25+δ -12 -14 -15 0 0 0 0
-C B z -12 x 2 -14 x 3 0
x 7
-1-δ≤0，δ≥-1，-c 1’=-c 1+δ≥-25-1=-26，即c 1≤26（万元/万件）
产品B 利润变化范围： -C -25 -12+δ -14 -15 0 0 0 0
-C B
z
-12+δ x 2 -14 x 3 0
x 7
--≤-+≤-+≤--≤⎧⎨
⎪⎪⎩⎪⎪102154061204140δδδδ///，δδδδ≥-≤≤≥-⎧⎨⎪⎪
⎩⎪⎪18451216
/，-1≤δ≤12，-13≤-12+δ≤0，-13≤-c 2’≤
0， 即：0≤c 2’≤13。

产品C 利润的变化范围： -C -25 -12 -14+δ -15 0 0 0 0 -C B z -12
x 2
-14+δ x 3
0 x 7
--≤-+≤-+≤⎧⎨⎪⎩⎪10213204120δδδ//，δδδ≥-≤≤⎧⎨⎪⎩
⎪1148 -1≤δ≤8，-15≤-14+δ≤-6，-15≤-c 3’≤-6，6≤c 3’≤15
产品D 的变化范围 -C -25 -12 -14 -15+δ
0 0 0 0 z x
x x x x x x RHS -C B z -12 x 2 -14 x 3 0
x 7
-21-δ≤0，δ≥-21，-15+δ≥-36，-c 4’≥-36，c 4’≤36。

（3） 求三种原料的影子价格和四种产品的机会成本
由最优单纯形表可知，原料甲、乙、丙的影子价格分别为：
6万元/吨、4万元/吨、0万元/吨。

产品A 、B 、C 、D 的机会成本分别为（
∑=m
i ij
i a
q 1
）：
26万元/万件、12万元/万件、14万元/万件、36万元/万件。

产品A 、D 在最优解中不安排生产的原因是机会成本大于利润。

（4） 在最优解中，原料甲的影子价格（6万元/吨）最大，因此这种原料最紧缺。

如果原料A 增加120吨，最优单纯形表的右边常数成为：
B b -'=--⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦
⎥
⎥⎥=
⎡⎣⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥+-⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎤
⎦
⎥⎥⎥≥11214001203234124001203200180040016006006000180100016004200///// 因此最优基保持不变，影子价格不变，原料的紧缺程度不变。