3.xx
y 3
5
0
z 2x 4y最小值 -6，求k
x
解：z
yk 0
2x 4y化为y
1
x
z
x y50
与y 1 x平行
22
当直线过 A2 点，z最小. 可求A(3,-3- k)
x
y
O
k
3
0
zmin 23 4(3 k) 6
A
k 0
4.z=mx+y(m>0)取得最大值的最优解有无数个,求m
2.
x,
y满足
y
0
求z=x-y的最值
(1)画区域 x y 1 (2)z x y化为y x z，斜率为1，
B
纵截距为-z的一组平行线 l
(3)平移直线y x
(4)直线过点A时纵截距-z最小，z最大; 过点B时纵截距-z最大，z最小.
交点A(1,0),B(0,1)
Zmax 1 0 1, Zmin 0 1 1.
(2)求z=x+2y的最值
(1)画区域
（2）z
2x
3 y化为y
O
2
x
4z
表示斜率为 2，纵截距为 z 的3一组平3 行线
(3)直线过点
A
3
3
时纵截距最大，此时z最大,过点
O
时z最小
（z4m）ax 解 2方程4 组 34x6x2141y6Z8m得in 点A0(4,2注) ：倾斜斜率角越越大大，
x 0
OA
x y1
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
2x y 3
求z=x-y的最值
(2)z x y化为y x z，
B
斜率为1，纵截距为-z的 一组平行线 l
A
(3)平移直线y x
O
(4)直线过点 A时z值最大;过点 B时z值最小.
---------向下----------------------------------减小. Z 减小.
当B<0时, 当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小. ---------向下----------------------------------减小，但z 增大.
注意：斜率大小及截距符号。
点坐标代入3x+y-a=0后，符号相反，
∴(-3+2+a)(9-3-a) <0， 得－1＜a＜6.
2.点(-1,2) 在5x+y-a<0表示的区域内，则a的范围 .
-5+2-a <0，得a>-3
x+2y≤8
例1. 4x≤16 求z=2x+3y的最值 4y≤12
B(2,3)
x≥0 ,y≥0
3
A
补(1)求z=x+4y的最值
特殊地P(x, y), O(0,0)
AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2
k AB
y2 y1 x2 x1
OP x2 y2
kOP
y x
P(x0, y0 ), l : Ax By C 0 d Ax0 By0 C
k (x a)2 (y b)2 PA P(x, y), A(a,b)
解：z mx y化为y mx z
m 0
y C(1, 22)
直线y mx z与直线AC重合时 5
线段AC上的每一点都是最优解
斜率k m kAC
BA(1(1,,11))
k AC
3 22 5
5 1
7 20
0
m 7x 1 20
A(5,3)
x
A(x1, y1), B(x2 , y2 )
(x a)2 ( y b)2 PA2
A2 B2
yb xa
PA
x2 y2 OP
x2 y 2 OP 2
P(x, y),O(0,0)
y kOP
x
例2.
x,
y满足
解：z （x
x0 3x 4 y≥0
1) 2
y4
y2
求z x2 补：求z
1 PM 2
y2 x2
1
2x最小值 y 2最小值
x 0
1. x ,
y满足
x
2
y
3
求z=x-y的最值
2x y 3
解：z x y化为y x z，
与直线y x平行,纵截距为-z
B
直线过点 A时z值最大;
过点 B 时z值最小.
A
解方程组得点A(1,1),B(0,3) O
zmax 1 1 0, zmin 0 3 3 3 z 0
其中P(x, y), M (1,0)
由图知PM 2 1的最小值 AM 2 1
zmin 2 1 1
A P(x, y)
补：x2 y2 OP 2 其中P(x, y)
B
由图d知 O0 9P021的64最 小 54 （值 d(为x2dO到2 y直2线)mAMinB距O12离365）x 4 y 4
线性规划问题：
x=1 2x+y=ｚ 可行域
线性目标函数在线性约 最优解 束条件下的最值 的问题
x-4y+3=0
A（5，2）
B（1，1）3x+5y-25=0
o1
x
理解记忆：三个转化
约束条件
转化
可行域
目标函数 Z=Ax+By
转化
一组平行线 yA x Z
ΒB
最优解 转化
四个步骤： 1.画：画可行域
寻找平行线的 最大(小) 纵截距
B (2)x，y满足xx
y 2
20 y40
解:
y x
y x
200yk3OP
0
求 y 最大值 x
C
其中P(x, y)
A
由图知kOA kOP kOC O
解2x
y3 2y
0 4
0得C
(1,
3) 2
(
y x
)
m
ax
kOC
3 2
小结：目标函数的常见类型
解方程组求交点A(1,1),B(0,3)
Zmax 1 1 0, Zmin 0 3 3
基本概念：
x 4 y 3
线性约束条件： 3x 5 y 25
x
1
目标函数，线性目标函数
z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解
可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分）
最优解： 使目标函数取得最值y的可行解 A(5,2),B(1,1)
例：画出不等式组
y
x y 5 0 x y 0
x+y=0
x 3
5
表示的平面区域.
-5O
x
x-y+5=0 x=3
注：不等式组表示的平面区域是各不等式 所表示平面区域的公共部分。
1.点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0两侧，则a的范围 . 解：点(-1,2)和(3,- 3)在直线3x+y-a=0的两侧，将这两
2.移：线性目标函数表示的一组平行线中，利用平移方
法找出与可行域公共点且纵截距最大或最小的直线
3. 求：求交点点的坐标，并求最优解
4.答：
一、目标函数
z Ax By即y A x 1 z表示一组平行线，
BB
其中 A 为斜率，1 z为纵截距，
B
B
当B>0时,
当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大.