y x
x
y
1
y
y 1
x+y=1
A
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O B
2x+y=0
目标函数： Z=2x+y y=x
x C
Zmax=3
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最 大或最小的直线 （3）求：通过解方程组求出最优解；
表示定点Q （x0,y0)到可行域内的动点N(x,y)的距离 或距离平方。
一、最值模型
z A x B y 即 y A x 1 z 表 示 一 组 平 行 线 ，
BB
其 中 A为 斜 率 ， 1z为 纵 截 距 ，
B
B
当B>0时,
当直线向上平移时,所对应的截距随之增大;z 增大.
---------向下----------------------------------减小. Z 减小.
线性规划相关问题
y
o
x
.
基本概念：
x 4 y 3
线性约束条件：
3
x
5
y
25
x 1
目标函数，线性目标函数 z=2x+y
可行解： 满足约束条件的解(x,y) 即不等式组的解
可行域: 可行解组成的集合 （阴影部分）
最优解： 使目标函数取得最值的可行解
线性规划问题：
y
x=1 2x+y=ｚ 可行域
（4）答：作出答案。
x 0
2.
x,
y满足
y
0
求z=x-y的最值
(1)画区域 x y 1 (2)zxy化 为 yxz， 斜 率 为 1，
B
纵 截 距 为 -z的 一 组 平 行 线 l
(3)平 移 直 线 yx
(4)直线过点A 时纵截距-z最小，z最大;
OA
x y1
过点B 时纵截距-z最大，z最小.
(5)求可行域的面积和 y
整点个数.
S
1 2
|
BC|
h
5C
123.446.8.
A
B
4 2 2 1 1 1 0
O1
5
x=1
x-4y+3=0
3x+5y-25=0
x
例 1.已 知 x、 y满 足 3 xx45yy≤ ≤ 3 2,5. x≥ 1.
(6)z=mx+y, m>0在可行域内取得最大值的最优解有
(1)z＝x＋2y－4 的最大值； zmax15;
(2)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；
5
z 2y 1
zmin
16 ; 9
(3)
x 2 的范围．
z , 7 5 ,..Leabharlann 拓展延伸2x y 0
已
知
实 数 x、
y满 足
x
x
3y 0
5
0，
y 0 1
则 z＝( 1 )x ( 1 ) y的 最 小 值 为 __1_6___．
(1)若z=2x+y,求z的最值. Z m ax25212,
y 5C
Zm in2113.
A
B
(2)若z=2x-y,求z的最值. O 1
5
x=1
Zm ax2528,
Z m in2 14 .4 2 .4 .
x-4y+3=0 3x+5y-25=0
x
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
y 5C
( x2 y2)min 12 12 2,
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关．
课题导入
.
目标引领
1.会利用线性规划求解最值
.
独立自学
回答下列常见代数式的几何意义：
(1) x2＋y2 表_示__点__(_x_，__y_)_与__原__点__(_0_,_0_)_的__距__离__；； （2） x－a 2＋ y－b 2 表__示__点__(_x_，__y_)_与__(_a_，__b_)_的__距_；离 （3） y _表__示__点___(x_，___y_)与___原__点__(0__,0_)_连__线；的斜率
例2 求不等式 x2y22
所表示的平面区域的面积？
xy6 (x2,y2) 分析： x2y22xxyy22((xx22,,yy22))
xy2 (x2,y2)
.
练习1：
当堂诊学
如图，已知 △ ABC中的三顶点，A(2,4)，
B(-2,3)，C(1,0) ，点p(x,y)在内部及边界运动.
①z=x+y 在_A_(_2_,4_)__ 处有最大值__6__，
当B<0时,
当直线向上平移时,所对应的截距随之增大，但z 减小.
---------向下----------------------------------减小，但z 增大.
注意：斜率大小及截距符号。
解下列线性规划问题：
1、求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y x
x
y
1
y 1
A
直线过点 A 时z值最大;
过点 B 时z值最小.
O
解方程组得点A(1,1),B(0,3)
z m a x 1 1 0 ,z m in 0 3 3 3z0
体验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解。 二、最优解一般在可行域的顶点处取得． 三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，
最优解
x-4y+3=0
A（5，2）
B（1，1）3x+5y-25=0
o1
x
目标函数的常见类型
1.z=Ax+By(A,B为常数)可化为
y
Ax B
z
B表示
与y
A B
x
平行的一组平行线,其中
z B
为截距。
2.z
y y0 x x0
表示定点P(x0,y0) 与可行域内的动点M(x,y) 连线的斜率
3. z ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2 或 z ( x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2
( x2y2)max 5222 29,
O
B
1
x=1
zmin 2, zmax 29.
(4)若 z
y x
,
求z 的最值.
zmaxkOC41.44.4, ZminkoA520.4
x-4y+3=0
A
3x+5y-25=0
5
x
例 1.已 知 x、 y满 足 3 xx45yy≤ ≤ 3 2,5. x≥ 1.
交点A(1,0),B(0,1)
Z m a x 1 0 1 ,Z m i n 0 1 1 .
注意： 目标函数化为斜截式后， 分析斜率大小；z的系数符号。
x 0
1.
x,
y满足
x
2
y
3
求z=x-y的最值
2x y 3
解 ： zxy化 为 yxz，
B
与 直 线 yx平 行 ,纵 截 距 为 -z
无数个,求m的值.
y
ym xz
5C
解：当直线y=-mx+z与直线
AC重合时，线段AC上的任
x-4y+3=0
意一点都可使目标函数z＝y＋
mx取得最大值.
B
而直线AC的斜率为
3 5
,
m 3 , 即 m 3 .
5
5
O1
x=1
A
3x+5y-25=0
5
x
变式：当且仅当在A（5,2）处有最大值，求m的范围
x-4y+3=0
(3)若z=x2+y2,求z的最值.
(4)若
z
y x
,
求z 的最值.
B
O1
x=1
A
3x+5y-25=0
5
x
(5)求可行域的面积和整点个数.
(6)z=mx+y, m>0在可行域内取得最大值的最优解有 无数个, 求m的值.
.
例 1.已 知 x、 y满 足 3 xx45yy≤ ≤ 3 2,5. x≥ 1.
x
（4）
y－b x－a
表__示__点___(x_，___y_)与__点___(a_，__b__)连__线___的__斜__率_.
.
例 1.已 知 x、 y满 足 3 xx 45 yy ≤ ≤ 3 2,5. x y ≥ 1.
(1)若z=2x+y,求z的最值. 5 C
(2)若z=2x-y,求z的最值.
在__线_段__B_C_ 处有最小值 __1_；
②z=x-y 在__C_(1_,_0_) _ 处
Y
A
有最大值_1___， 在_B_(-_2_,_3_)_ 处 有最小值___-_5___；
B
3
2C
1
-2 -1 o 1 C 2 3 x
-1
-2
.
练习2： x y 2 0 ,
已知
x
y
4
0,
求： 2 x y 3 0 .
42
.
强化补请
1、想一想求点的轨迹方程还有 其他方法吗？
2、完成课时作业1、2、5、8
.