第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为S域函数F(S)；反 之，拉普拉斯逆变换将F(S)变换为相应的f(t) 。
由于f(t)与F(S)之间存在一定的对应关系，故可以从函 数的典型形式透视出内在性质。
而其零点位于
s 0 （一阶） s 1 j1 （一阶） s 1 j1 （一阶） s= （一阶）
（4.7-1）
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
将此系统函数的零、极 点图绘于图中的平面内， 用符号圆圈“o”表示零点， “x”表示极点。在同一位 置画两个相同的符号表示 为二阶，例如-1处有二阶极 点
h(t)
L1[H (s)]
n
L1[
i 1
Ki ] s pi
n
L1[
i 1
Hi (s)]
n i 1
hi (t)
n
h(t) Kie pit i 1
（4.7-3）
1）这里，Pi可以是实数，但一般情况下， Pi以成对的共轭复数形 式出现。
2）各项相应的幅值由系数Ki决定，而Ki则与零点分布情况有关。
如
L1[
(s
2
2s 2
)2
]
t
sin(t
)
这是幅度按线性增长的正弦振荡。
j
t sin(t)
t
j
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况
j
jω0
α
O
jω0
α
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
（单调增幅）形式。
j
eat
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
(3) 位于虚轴上的共轭极点给出等幅震荡。
如Hi s
s2
2
, 则hi
t
sint , 它的两个极
点位于p1 j和p2 j
sin t
j
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
（4）落于左半平面内的共轭极点对应于衰减振荡。
j
eat sin t
t
a
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
H(s) 1 , s
p1 0在原点， h(t) L1[H(s)] u(t)
H(s) 1 , sa
p1 a
a 0, 在左实轴上 , h(t) eat u(t), 指数衰减
a 0, 在右实轴上 , h(t) eat u(t),a 0, 指数增加
零、极点图示 由于系统函数与冲激响应是一对拉普拉斯变换式，因此， 只要知道在s平面中零、极点的分布情况，就可预言该系统 在时域方面波形的特性。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
对于集总参数线性时不变系统，其系统函数可表示为 两个多项式之比，具有以下形式
m
K(s zj )
H(s)
j 1 m
H(s)
s2
ω ω2
,
p1 jω, 在虚轴上
h(t) sinωtu(t)，等幅振荡
H(s)
(s
ω α )2
ω2
,
p1 α jω, p2 α j, 共轭根
α 0
α 0
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若 H(s)具有多重极点，那么， 部分分式展开 式各项所对应的时间函数可能具有t,t2,t3,…与指 数函数相乘的形式，t的幂次由极点阶次决定。
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几种典型情况的极点分布 与原函数波形的对应关系
(1)若极点位于s平面坐标原点，Hi (s)
1 s
，那么，冲
激响应就为阶跃函数，hi (t) u(t) 。
j
t
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(2)若极点位于平面的实轴上，则冲激响应具有指数
函数形式。
零、极点定义相同，也即Ｈ(s)的分母多项式之根构成
极点，分子多项式的根构成零点。
还可按以下方式定义：
若
lim
s p1
H
(s)
，但
s
p1
H
s s p1
等于有限值，
则s
p1处有一阶极点。若 s
p1 K
H
s
s p1
直道K
n
时才等于有限值，则H(s)在s=p1处有n阶极点。
１ 的极点即H (s)的零点，当 １ 有n阶极点时，
H (s)
H (s)
即H (s)有n阶零点。
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例如，若
H
(s)
s[(s 1)2 (s 1)2 (s2
1] 4)
s(s 1 j1)(s 1 (s 1)2 (s j2)(s
j1) j2)
那么，它的极点位于
s 1 （二阶） s j2 （一阶） s j2 （一阶）
(1)位于s平面坐标原点的二阶或三阶极点分别给出时间
函数为t或t2/2。如H (S)
1 S2
j
h(t) t
t
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(2)实轴上的二阶极点给出t与指数函数
的乘积。如
L1[
(
s
1 a)
2
]
teat
teat
j
t
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(3)位于虚轴上的二阶共轭极点情况。
如
Hi
(s)
s
1
a
则 hi (t) eat ，此时，极点为
负实数 pi a 0 ，冲激响应为指数衰减（单调减幅）
形式。
j
e at
t
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
如果
Hi (s)
s
1
a
则
hi (t) eat ，这时，极点
是正实数 pi a 0 ，对应的冲激响应是指数增长
(s pi )
i 1
（4.7-2）
其中，Zj表示第j个零点的位置，pi表示第i个极点的位 置。零点有m个，极点有n个。K是一个系数。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
如果把H(s)展开部分分式，那么，每个极点将决定一项
对应的时间函数。具有一阶极点p1,p2,…pn的系统函数其冲激 响应形式如下
当F(S)为有理函数时，其分子多项式和分母多项式都 可以分解为因子形式，各项因子指明了零点和极点的位置。 显然，从这些零点和极点的分布情况，便可确定原函数的 性质。
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
（一）零、极点分布与波形特征的对应
定义 : 系统函数H (s)零、极点的定义与一般象函数F(s)
例如，L1[
(s
a)2
2
]
eat
sin(t)
(a 0)
它的两个极点位于p1 a j 和 p2 a j ，这里。
换、连续时间系统的S域分析
落于右半平面内的共轭极点对应于增幅振荡。
例如
L1[
] eat sin(t)
(s a)2 2
极点是 p1 a j 和 p2 a j