实验七 连续时间系统S 域零极点分析一、目的（1）掌握连续系统零极点分布与系统稳定性关系（2）掌握零极点分布与系统冲激响应时域特性之间的关系 （3）掌握利用MATLAB 进行S 域分析的方法二、零极点分布与系统稳定性根据系统函数)(s H 的零极点分布来分析连续系统的稳定性是零极点分析的重要应用之一。
稳定性是系统固有的性质，与激励信号无关，由于系统函数)(s H 包含了系统的所有固有特性，显然它也能反映出系统是否稳定。
对任意有界信号)(t f ，若系统产生的零状态响应)(t y 也是有界的，则称该系统为稳定系统，否则，则称为不稳定系统。
上述稳定性的定义可以等效为下列条件：● 时域条件：连续系统稳定充要条件为∞<⎰∞∞-dt t h )(，即冲激响应绝对可积； ● 复频域条件：连续系统稳定的充要条件为系统函数)(s H 的所有极点位于S 平面的左半平面。
系统稳定的时域条件和频域条件是等价的。
因此，只要考察系统函数)(s H 的极点分布，就可判断系统的稳定性。
对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式方便地求出极点位置，从而判断系统稳定性，但对于告阶系统，手工求解极点位置则显得非常困难。
这时可利用MATLAB 来实现这一过程。
例7-1：已知某连续系统的系统函数为：试用MATLAB 求出该系统的零极点，画出零极点图，并判断系统是否稳定。
解：调用实验六介绍的绘制连续系统零极点图函数sjdt 即可解决此问题，对应的MATLAB 命令为： a=[8 2 3 1 5];b=[1 3 2]; [p,q]=sjdt(a,b) 运行结果为： p =-0.6155 - 0.6674i -0.6155 + 0.6674i 0.4905 - 0.7196i 0.4905 + 0.7196i q =-2 -1绘制的零极点图如图7-1所示。
由程序运行结果可以看出，该系统在S 平面的右半平面有一对共轭极点，故该系统是一个不稳定系统。
三、零极点分布与系统冲激响应时域特性设连续系统的系统函数为)(s H ，冲激响应为)(t h ，则 显然，)(s H 必然包含了)(t h 的本质特性。
对于集中参数的LTI 连续系统，其系统函数可表示为关于s 的两个多项式之比，即∏∏==--==Ni iMj j p s q s C s A s B s H 11)()()()()( （7-1）其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点。
若系统函数的N 个极点是单极点，则可将)(s H 进行部分分式展开为：∑=-=Ni i i p s ks H 1)( （7-2）从式（7-1）和（7-2）可以看出，系统冲激响应)(t h 的时域特性完全由系统函数)(s H 的极点位置决定。
)(s H 的每一个极点将决定)(t h 的一项时间函数。
显然，)(s H 的极点位置不同，则)(t h 的时域特性也完全不同。
下面利用例子说明)(s H 的极点分布与)(t h 时域特性之间的关系。
例7-2：已知连续系统的零极点分布如图7-2所示，试用MATLAB 分析系统冲激响应)(t h 的时域特性。
解：系统的零极点图已知，则系统的系统函数)(s H 就可确定。
这样就可利用绘制连续系统冲激响应曲线的MATLAB 函数impulse()，将系统冲激响应)(t h 的时域波形绘制出来。
对于图7-2（a ）所示的系统，系统函数为ss H 1)(=，即系统的极点位于原点，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 0]; b=[1];impulse(b,a)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（a ）所示，此时)(t h 为单位阶跃信号。
对于图7-2（b ）所示的系统，系统函数为α+=s s H 1)(，即系统的极点为位于S 平面左半平面的实极点，令2=α，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 2]; b=[1];impulse(b,a)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（b ）所示，此时)(t h 为衰减指数信号。
对于图7-2（c ）所示的系统，系统函数为α-=s s H 1)(，即系统的极点为位于S 平面右半平面的实极点，令2=α，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 -2]; b=[1];impulse(b,a)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（c ）所示，此时)(t h 为随时间增长的指数信号。
对于图7-2（d ）所示的系统，系统函数为22)(1)(βα++=s s H ，即系统的极点为位于S 平面左半平面的一对共轭极点，令5.0=α、4=β，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 1 16.25]; b=[1];impulse(b,a,5)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（d ）所示，此时)(t h 为按指数衰减的正弦振荡信图7-2 例7-2的系统零极点图（a ）（b ） （c ） （d ） （e ） （f ） 图7-3 例7-2的系统冲激响应时域波形图号。
对于图7-2（e ）所示的系统，系统函数为221)(β+=s s H ，即系统的极点为位于S 平面虚轴上的一对共轭极点，令4=β，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 0 16]; b=[1];impulse(b,a,5)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（e ）所示，此时)(t h 为等幅正弦振荡信号。
对于图7-2（f ）所示的系统，系统函数为22)(1)(βα+-=s s H ，即系统的极点为位于S 平面右半平面上的一对共轭极点，令5.0=α、4=β，绘制冲激响应时域波形的MATLAB 命令如下：a=[1 -1 16.25]; b=[1];impulse(b,a,5)绘制的冲激响应)(t h 波形如图7-3（f ）所示，此时)(t h 为按指数增长的正弦振荡信号。
从上述程序运行结果和绘制的系统冲激响应曲线，可以总结出以下规律：系统冲激响应)(t h 的时域特性完全由系统函数)(s H 的极点位置决定，)(s H 位于S 平面左半平面的极点决定了)(t h 随时间衰减的信号分量，位于S 平面虚轴上的极点决定了冲激响应的稳态信号分量，位于S 平面右半平面的极点决定了冲激响应随时间增长的信号分量。
三、由连续系统零极点分布分析系统的频率特性由前面分析可知，连续系统的零极点分布完全决定了系统的系统函数)(s H ，显然，系统的零极点分布也必然包含了系统的频率特性。
下面介绍如何通过系统的零极点分布来直接求出系统的频率响应)(ωj H 的方法——几何矢量法，以及如何用MATLAB 来实现这一过程。
几何矢量法是通过系统函数零极点分布来分析连续系统频率响应)(ωj H 的一种直观而又简便的方法。
该方法将系统函数的零极点是为S 平面上的矢量，通过对这些矢量的模和幅角的分析，即可快速确定出系统的幅频响应和相频响应。
其基本原理如下：设某连续系统的系统函数为：其中),,2,1(M j q j =为)(s H 的M 个零点，),,2,1(N i p i =为)(s H 的N 个极点。
则频率响应为：∏∏===--==Ni iMj jj s p s q s Cs H j H 11)()()()(ωω （7-3）现在从几何矢量空间的角度分析S 平面，即将S 平面的任一点看成是从原点到该点的矢量，则ωj 即是从S 平面原点到虚轴上角频率为ω的点的矢量。
同理，),,2,1(M j q j =和),,2,1(N i p i =即是从S 平面原点到系统函数各零点和极点的矢量。
现在考虑矢量j q j -ω，由矢量运算可知，它实际上就是零点j q 到虚轴上角频率为ω的点的矢量，如图7-3所示；而矢量i p j -ω则是极点i p 到虚轴上角频率为ω的点的矢量。
令其中，j B 为矢量j q j -ω的模，j ψ为该矢量的幅角；i A 为矢量i p j -ω的模，i θ为该矢量的幅角。
因此有：)(11)()()()(ωϕθψωωj Ni ij iMj j j j e j H eA eB Cj H ==∏∏== （7-4）则系统的幅频特性和相频特性为：∏∏===N i iMj jABCj H 11)(ω （7-5）∑∑==-=N i iMj j11)(θψωϕ （7-6）由上述分析可以得出如下结论：● 连续系统的幅频响应)(ωj H 等于系统函数所有零点到虚轴上角频率为ω的点的距离之积与系统函数所有极点到虚轴上角频率为ω的点的距离之积的比值； ● 连续系统的相频响应)(ωϕ等于系统函数所有零点到虚轴上角频率为ω的点的矢量相角之和与系统函数所有极点到虚轴上角频率为ω的点的矢量相角之和的差值。
让矢量ωj 沿着虚轴变化，即角频率ω由∞~0进行改变，便可直观地求出系统幅频响应和相频响应随ω的变化，从而分析出系统的频率特性。
根据上述结论，若已知系统的零极点分布，即可直接由几何矢量法分析出系统的频率特性。
上述过程可用MATLAB 快速实现。
用MATLAB 实现已知系统零极点分布，求系统频率响应，并绘制其幅频特性和相频特性曲线的程序流程如下：（1） 定义包含系统所有零点和极点位置的行向量q 和p ；（2） 定义绘制系统频率响应曲线的频率范围向量f1和f2、频率取样间隔k ，并产生频率等分点向量f ；（3） 求出系统所有零点和极点到这些等分点的距离； （4） 求出系统所有零点和极点到这些等分点的矢量相角；（5） 根据式（7-5）和（7-6）求出f1到f2频率范围内各频率等分点的)(ωj H 和)(ωϕ；（6） 绘制f1~f2频率范围内系统的幅频特性曲线和相频特性曲线。
下面是完成上述分析过程的MATLAB 实用函数splxy()。
function splxy(f1,f2,k,p,q)%根据系统零极点分布绘制系统频率响应曲线程序%f1、f2：绘制频率响应曲线的频率范围（即频率起始和终止点，单位为赫兹） %p 、q ：系统函数极点和零点位置行向量 %k ：绘制频率响应曲线的频率取样间隔 p=p'; q=q';f=f1:k:f2; %定义绘制系统频率响应曲线的频率范围w=f*(2*pi);y=i*w;n=length(p); m=length(q); if n==0 %如果系统无极点yq=ones(m,1)*y;vq=yq-q*ones(1,length(w)); bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180; ai=1; thetai=0; elseif m==0 %如果系统无零点yp=ones(n,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w)); ai=abs(vp);thetai=angle(vp)./pi.*180; bj=1; cosaij=0; elseyp=ones(n,1)*y; yq=ones(m,1)*y;vp=yp-p*ones(1,length(w)); vq=yq-q*ones(1,length(w)); ai=abs(vp);thetai=angle(vp)./pi.*180; bj=abs(vq);cosaij=angle(vq)./pi.*180; endsubplot(121);Hw=prod(bj,1)./prod(ai,1); plot(f,Hw);title('连续系统幅频响应曲线') xlabel('频率w （单位：赫兹）') ylabel('F(jw)') subplot(122);Angw=sum(cosaij,1)-sum(thetai,1); plot(f,Angw);title('连续系统相频响应曲线') xlabel('频率w （单位：赫兹）') ylabel('Angle(jw)')下面举例说明如何调用该函数。