2011年高考题全国卷II数学试题·理科全解全析科目：数学试卷名称2011年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷II(理第 1 页共 12 页第 2 页 共 12 页【思路点拨】思路一：直接利用前n 项和公式建立关于k 的方程解之即可。
思路二： 利用221k k k k S S a a +++-=+直接利用通项公式即可求解，运算稍简。
【精讲精析】选D .22112(21)2(21)224 5.k k k k S S a a a k d k k +++-=+=++=++⨯=⇒=（5）设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于（A ）13 （B ）3 （C ）6 （D ）9 【思路点拨】此题理解好三角函数周期的概念至关重要，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，说明了3π是此函数周期的整数倍。
【精讲精析】选C . 由题2()3k k Z ππω=⋅∈,解得6k ω=，令1k =，即得min 6ω=. (6)已知直二面角l αβ--，点,A AC l α∈⊥,C 为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D 到平面ABC 的距离等于(A)23 (B)33 (C)63(D) 1 【思路点拨】本题关键是找出或做出点D 到平面ABC 的距离DE ，根据面面垂直的性质不难证明AC ⊥平面β，进而β⊥平面平面ABC,所以过D 作DE BC ⊥于E ，则DE 就是要求的距离。
【精讲精析】选C .如图，作DE BC ⊥于E ，由l αβ--为直二面角，AC l ⊥得AC ⊥平面β，进而AC DE ⊥，又,BC DE BC AC C ⊥=，于是DE ⊥平面ABC ，故DE 为D 到平面ABC 的距离。
在Rt BCD ∆中，利用等面积法得12633BD DC DE BC ⨯⨯===. (7)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友每第 3 页 共 12 页位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A)4种 (B)10种 (C)18种 (D)20种【思路点拨】本题要注意画册相同，集邮册相同，这是重复元素，不能简单按照排列知识来铸。
所以要分类进行求解。
【精讲精析】选B .分两类：取出的1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有144C =种；取出的2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有246C =种。
总的赠送方法有10种。
(8)曲线y=2x e-+1在点(0，2)处的切线与直线y=0和y=x 围成的三角形的面积为 (A)13 (B)12 (C)23(D)1 【思路点拨】利用导数求出点（0，2）切线方程然后分别求出与直线y=0与y=x 的交点问题即可解决。
【精讲精析】选A .202,|2x r y ey -=''=-=-切线方程是：22y x =-+,在直角坐标系中作出示意图，即得1211233S =⨯⨯=。
(9)设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5()2f -=(A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12【思路点拨】解本题的关键是把通过周期性和奇偶性把自变量52-转化到区间[0,1]上进行求值。
【精讲精析】选A . 先利用周期性，再利用奇偶性得: 5111()()()2222f f f -=-=-=-. (10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠=(A)45(B)35 (C)35- (D)45- 【思路点拨】方程联立求出A 、B 两点后转化为解三角形问题。
【精讲精析】选D .第 4 页 共 12 页联立2424y x y x ⎧=⎨=-⎩，消y 得2540x x -+=，解得1,4x x ==.不妨设A 在x 轴上方，于是A ，B 的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求35,5,2AB AF BF ===，利用余弦定理2224cos 25AF BF AB AFB AF BF +-∠==-⨯.(11)已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成060二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π【思路点拨】做出如图所示的图示，问题即可解决。
【精讲精析】选B .作示意图如，由圆M 的面积为4π，易得222,23MA OM OA MA ==-=，Rt OMN ∆中，30OMN ∠=。
故2cos303,39.MN OM S ππ=⨯==⨯=. (12)设向量,,a b c 满足1||||1,,,602a b a b a c b c ==⋅=-<-->=，则||c 的最大值等于(A)2 (B)3 (c)2 (D)1【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大.【精讲精析】选A .如图，构造 ,,,120,60,AB a AD b AC c BAD BCD ===∠=∠=，所以A 、B 、C 、D 四点共圆，分析可知当线段AC 为直径时，||c 最大，最大值为2.第 5 页 共 12 页(13)(1-x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为: . 【思路点拨】解本题一个掌握展开式的通项公式，另一个要注意r n r n n C C -=.【精讲精析】0. 由20120()r r T C x +=-得x 的系数为220C , x 9的系数为1820C ,而1822020C C =.(14)已知a ∈(2π，π)，sin α=55，则tan2α= 【思路点拨】本题涉及到同角三角函数关系式,先由正弦值求出余弦值一定要注意角的范围，再求出正切值，最后利用正切函数的倍角公式即可求解。
【精讲精析】43-.由a ∈(2π，π)，sin α=55得25sin 1cos ,tan 5cos 2αααα=-==-, 22tan 4tan 21tan 3ααα==--. (15)已知F 1、F 2分别为双曲线C : 29x - 227y =1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2，0)，AM 为∠F 1AF 2的平分线．则|AF 2| = .【思路点拨】本题用内角平分线定理及双曲线的定义即可求解。
【精讲精析】6.由角平分线定理得：221211||||1,||||26||||2AF MF AF AF a AF MF ==-==,故2||6AF =. (16)己知点E 、F 分别在正方体ABCD -A 1B 2C 3D 4的棱BB 1 、CC 1上，且B 1E =2EB, CF=2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .【思路点拨】本题应先找出两平面的交线，进而找出或做出二面角的平面角是解决此问题的关键,延长EF 必与BC 相交，交点为P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线.【精讲精析】23.延长EF 交BC 的延长线于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，因为90CAP ∠=，所以FCA ∠为面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。
第 6 页 共 12 页223tan 32FC FCA CA ∠===(17)(本小题满分l0分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.己知A —C =90°，a+c=2b ，求C.【思路点拨】解决本题的突破口是利用正弦定理把边的关系转化为角的正弦的关系，然后再结合A —C =90°,得到sin cos A C =.即可求解。
【精讲精析】选D .由90A C -=，得A 为钝角且sin cos A C =，利用正弦定理，2a c b +=可变形为sin sin 2sin A C B +=，即有sin sin cos sin 2sin(45)2sin A C C C C B +=+=+=， 又A 、B 、C 是ABC ∆的内角，故45C B +=或(45)180C B ++=(舍去)所以(90)(45)180A B C C C C ++=++++=。
所以15C =.(18)(本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
求X 的期望。
【思路点拨】解本题应首先主出该车主购买乙种保险的概率为p,利用乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，即可求出p=0.6.然后（ii ）利用相互独立事件的概率计算公式和期望公式计算即可.【精讲精析】设该车主购买乙种保险的概率为p,由题意知：(10.5)0.3p ⨯-=，解得0.6p =。
第 7 页 共 12 页（I ） 设所求概率为P 1，则11(10.5)(10.6)0.8P =--⨯-=.故该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率为0.8。
（II ） 对每位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为(10.5)(10.6)0.2-⨯-=。
(100,0.2).1000.220X B EX =⨯=所以X 的期望是20人。
（19）如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形，2,1AB BC CD SD ====.（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;（Ⅱ)求AB 与平面SBC 所成角的大小.【思路点拨】本题第（I ）问可以直接证明，也可建系证明。
（II ）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算计算把求角的问题转化为数值计算问题,思路清晰思维量小。
【精讲精析】计算SD=1，5,2AD SA ==，于是222SA SD AD +=，利用勾股定理，可知SD SA ⊥，同理，可证SD SB ⊥又SA SB S =，因此，SD SAB ⊥平面.（II ）过D 做Dz ABCD ⊥平面，如图建立空间直角坐标系D-xyz ，A(2,-1,0),B(2,1,0),C(0,1,0),13(,0,)22S 可计算平面SBC 的一个法向量是(0,3,2),(0,2,0)n AB ==||2321|cos ,|7||||27AB n AB n AB n ⋅<>===⋅. 所以AB 与平面SBC 所成角为21arcsin7.第 8 页 共 12 页（20）设数列{}n a 满足10a =且111 1.11n n a a +-=-- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设111,, 1.nn n n k n k a b b S n +=-==<∑记S 证明：【思路点拨】解本题突破口关键是由式子111 1.11n n a a +-=--得到1{}1na -是等差数列，进而可求出数列{}n a 的通项公式.（II ）问求出{}nb 的通项公式注意观察到能采用裂项相消的方式求和。