立体几何单元测试卷一、选择题(本大题共12小题,每小题5分)1.设m ,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列四个命题:①若α∥β,m ⊂α,则m ∥β;②若m ∥α,n ⊂α,则m ∥n ;③若α⊥β,m ∥α,则m ⊥β;④若m ⊥α,m ∥β,则α⊥β.其中为真命题的是( )A .①③B .②③C .①④D .②④2.用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为π,则球的体积为( )A.8π3B.82π3 C .82π D.32π33.某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )A .4B .2 2 C.203D .84. 如图所示,正四棱锥P -ABCD 的底面积为3,体积为22,E 为侧棱PC 的中点,则P A 与BE 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π25.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ,那么圆柱的体积等于 A.2S S B. 2S S π C. 4SS D. 4S S π6. 如图所示是一个直径等于4的半球,现过半球底面的中心作一个与底面成80°角的截面,则截面的面积为( )A.π2B .πC .2πD .πsin80° 7.设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是A.若l ⊥m ,m ⊂α,则l ⊥αB.若l ⊥α,l ∥m ,则m ⊥αC.若l ∥α,m ⊂α,则l ∥mD.若l ∥α,m ∥α,则l ∥m8.二面角的棱上有A 、B 两点,直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB .已知AB =4,AC =6,BD =8,CD =217,则该二面角的大小为( )A .150°B .45°C .60°D .120°9. 如图所示,已知△ABC 为直角三角形,其中∠ACB =90°,M 为AB 的中点,PM 垂直于△ABC 所在平面,那么( )A .P A =PB >PC B .P A =PB <PC C .P A =PB =PCD .P A ≠PB ≠PC10.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 是棱BB 1中点,G 是DD 1中点,F 是BC 上一点且FB =14BC ,则GB 与EF 所成的角为( )A .30°B .120°C .60°D .90°11.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1棱长为1,点P 在线段BD 1上,当∠APC 最大时,三棱锥P -ABC 的体积为( )A.124B.118C.19D.11212. 已知正三棱锥P —ABC 的高PO 为h ,点D 为侧棱PC 的中点,PO 与BD 所成角的余弦值为23,则正三棱锥P —ABC 的体积为( )A.338h 3B.238h 3C.38h 3D.334h 3二、填空题(本大题共4小题,每小题5分)13.已知A 、B 、C 、D 为空间四个点,且A 、B 、C 、D 不共面,则直线AB 与CD 的位置关系是________.14.在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上分别取点E 、F 、G 、H ,如果EH 、FG 相交于一点M ,那么M 一定在直线________上.15.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为3h=______第15题图16.判断下列命题的正确性,并把所有正确命题的序号都填在横线上__________ ①若直线a ∥直线b ,b ⊂平面α,则直线a ∥平面α②在正方体内任意画一条线段l ,则该正方体的一个面上总存在直线与线段l 垂直 ③若平面β⊥平面α,平面γ⊥α,则平面β∥平面γ④若直线a ⊥平面α,直线b ∥平面α,则直线b ⊥直线a三、解答题(本大题共6小题,共70分17已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=23a,如图.(1)求证:MN∥面BB1C1C;(2)求MN的长.18.(本小题满分10分) 如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)证明:PB∥平面ACM;(2)证明:AD⊥平面P AC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.AB CA1B1C 119.(本小题满分12分) 如图所示,在六面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,AD⊥平面DEFG,ED⊥DG,EF∥DG.且AB=AD=DE=DG=2,AC=EF=1.(1)求证:BF∥平面ACGD;(2)求二面角D-CG-F的余弦值.20.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB1⊥BC1,AB=CC1=1,BC=2.(1)求证:A1C1⊥AB;(2)求点B1到平面ABC1的距离.21.(如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q 分别为AE,AB的中点.(1)证明:PQ∥平面ACD;(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值.22.(22.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是正方形,AB=2EF=2,EF∥AB,EF⊥FB,∠BFC=90°,BF=FC,H为BC的中点.(1)求证:FH∥平面EDB;(2)求证:AC⊥平面EDB;(3)求四面体B—DEF的体积.立体几何单元测试卷答案1.C2.B3.D4. C5.D6. C7.B8.C9. C10.D11.B12. C13.异面14.BD 15.316.②④17.解:(1)证明:作NP ⊥AB 于P ,连接MP .NP ∥BC ,∴AP AB =AN AC =A 1M A 1B,∴MP ∥AA 1∥BB 1,∴面MPN ∥面BB 1C 1C . MN ⊂面MPN ,∴MN ∥面BB 1C 1C .(2)NP BC =AN AC =23a2a =13,NP =13a ,同理MP =23a .又MP ∥BB 1, ∴MP ⊥面ABCD ,MP ⊥PN .在Rt △MPN 中MN =49a 2+19a 2=53a . 18.解析 (1)连接BD ,MO ,在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点.又M 为PD 的中点,所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB ∥平面ACM .(2)因为∠ADC =45°,且AD =AC =1,所以∠DAC =90°,即AD ⊥AC .又PO ⊥平面ABCD , AD ⊂平面ABCD ,所以PO ⊥AD .而AC ∩PO =O ,所以AD ⊥平面P AC .(3)取DO 中点N ,连接MN ,AN .因为M 为PD 的中点,所以MN ∥PO ,且MN =12PO =1.由PO ⊥平面ABCD ,得MN ⊥平面ABCD ,所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角.在Rt △DAO 中,AD =1,AO =12,所以DO =52.从而AN =12DO =54.在Rt △ANM 中,tan ∠MAN=MN AN =154=455,即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为455. 19. 解析 方法一:(1)设DG 的中点为M ,连接AM ,FM . 则由已知条件易证四边形DEFM 是平行四边形. ∴MF ∥DE ,且MF =DE .∵平面ABC ∥平面DEFG , ∴AB ∥DE .∵AB =DE ,∴MF ∥AB ,且MF =AB ,∴四边形ABFM 是平行四边形. ∴BF ∥AM .又BF ⊄平面ACGD ,AM ⊂平面ACGD , 故BF ∥平面ACGD .(2)由已知AD ⊥平面DEFG ,∴DE ⊥AD .又DE ⊥DG ,且AD ∩DG =D , ∴DE ⊥平面ADGC .∵MF ∥DE ,∴MF ⊥平面ADGC .在平面ADGC 中,过M 作MN ⊥GC ,垂足为N ,连接NF ,则∠MNF 为所求二面角的平面角.连接CM .∵平面ABC ∥平面DEFG ,∴AC ∥DM .又AC =DM =1,所以四边形ACMD 为平行四边形,∴CM ∥AD ,且CM =AD =2.∵AD ⊥平面DEFG ,∴CM ⊥平面DEFG ,∴CM ⊥DG .在Rt △CMG 中,∵CM =2,MG =1,∴MN =CM ·MG CG =25=255.在Rt △CMG 中,∵MF =2,MN =255,∴FN =4+45=2305.∴cos ∠MNF =MN FN =2552305=66.∴二面角D -CG -F 的余弦值为66. 方法二:由题意可得,AD ,DE ,DG 两两垂直,故可建立如图所示的空间直角坐标系.则A (0,0,2),B (2,0,2),C (0,1,2),E (2,0,0),G (0,2,0), F (2,1,0).(1)BF →=(2,1,0)-(2,0,2)=(0,1,-2),CG →=(0,2,0)-(0,1,2)=(0,1,-2),∴BF →=CG →.∴BF ∥CG .又BF ⊄平面ACGD ,故BF ∥平面ACGD . (2)FG →=(0,2,0)-(2,1,0)=(-2,1,0). 设平面BCGF 的法向量为n 1=(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·CG →=y -2z =0,n 1·FG →=-2x +y =0.令y =2,则n 1=(1,2,1).则平面ADGC 的法向量n 2=(1,0,0). ∴cos 〈n 1,n 2〉=n 1·n 2|n 1|·|n 2|=1×112+22+12×12+02+02=66. 由于所求的二面角为锐二面角,∴二面角D -CG -F 的余弦值为66. 20.17.证明:(1)连结B A 1,则11AB B A ⊥又∵11BC B A ⊥∴⊥1B A 平面11BC A ∴ 111C A AB ⊥………4分又∵111BB C A ⊥ ∴⊥11C A 平面1ABB ∴AB C A ⊥11 (2)由(1)知AC AB ⊥ ∵1AC AB ⊥ ∵1=AB 2=BCCA 1B 1C 1∴3=AC 21=AC ∴11=∆ABC S设所求距离为d∵1111ABB C ABC B V V --=∴11113131C A S d S ABB ABC ⋅=⋅∆∆ ∴32131131⋅⋅=⋅⋅d ∴23=d21. 解:(1)证明:因为P ,Q 分别为AE ,AB 的中点, 所以PQ ∥EB .又DC ∥EB ,因此PQ ∥DC , 又PQ ⊄平面ACD , 从而PQ ∥平面ACD .(2)如图,连接CQ ,DP ,因为Q 为AB 的中点,且AC =BC ,所以CQ ⊥AB . 因为DC ⊥平面ABC ,EB ∥DC ,所以EB ⊥平面ABC ,因此CQ ⊥EB .故CQ ⊥平面ABE . 由(1)有PQ ∥DC ,又PQ =12EB =DC ,所以四边形CQPD 为平行四边形,故DP ∥CQ , 因此DP ⊥平面ABE ,∠DAP 为AD 和平面ABE 所成的角,在Rt △DP A 中,AD =5,DP =1,sin ∠DAP =55, 因此AD 和平面ABE 所成角的正弦值为55. 22解:(1)证明:设AC 与BD 交于G ,则G 为AC 中点,连接EG ,GH ,由于H 为BC 中点,故G H ∥AB 且G =12AB又∵EF 綊12AB ,∴EF 綊GH ,∴四边形EFHG 为平行四边形,∴EG ∥FH ,而EG ⊂平面EDB ,FH ⊄平面EDB , ∴FH ∥平面EDB .(2)证明:由于四边形ABCD 为正方形,∴AB ⊥BC , ∵EF ∥AB ,∴EF ⊥BC ,而EF ⊥FB ,∴EF ⊥平面BFC , ∴EF ⊥FH ,∴AB ⊥FH .∵BF =FC ,H 为BC 中点,∴FH ⊥BC , ∴FH ⊥平面ABCD ,∴FH ⊥AC ,∵FH ∥EG ,∴AC ⊥EG . ∵AC ⊥BD ,EG ∩BD =G ,∴AC ⊥平面EDB . (3)∵EF ⊥FB ,∠BFC =90°,∴BF ⊥平面CDEF , ∴BF 是四面体B —DEF 的高, ∵BC =AB =2,∴BF =FC = 2. ∴V B -DEF =13×12×1×2×2=13.。