高一2011-2012学年度单元测试题数 学 立体几何部分本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）与第Ⅱ卷（必考题和选考题两部分），考生作答时请将答案答在答题纸上，答在试卷或草纸上无效，考试时间120分钟，满分150分。

参考公式：柱体体积V Sh =，其中S 为柱体底面积，h 为柱体的高。

球体体积343V R π=，其中π为圆周率，R 为球体半径。

椎体体积13V Sh =，其中S 为锥体底面积，h 为锥体的高。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列说法正确的是A.两两相交的三条直线共面B.两条异面直线在同一平面上的射影可以是一条直线C.一条直线上有两点到平面的距离相等，则这条直线和该平面平行D.不共面的四点中，任何三点不共线2.设平面α∥平面β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A ，B 分别在α，β内运动时，那么所有的动点C A.不共面B.当且仅当A ，B 在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当A ，B 在两条给定的平行直线上移动时才共面D.不论A ，B 如何移动都共面3.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A.2 B.1 C.23 D. 13第3题图 第4题图 4.如图所示，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 中点。

将△ADE 与△BEC 分别沿ED ，EC 向上折起，使A ，B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为 A.43πB. 6πC. 6πD. 6π5.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是A.若l ⊥m ，m ⊂α，则l ⊥αB.若l ⊥α，l ∥m ，则m ⊥αC.若l ∥α，m ⊂α，则l ∥mD.若l ∥α，m ∥α，则l ∥m 第6题图 6.如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在 A.直线AB 上 B.直线BC 上 C.直线AC 上 D.△ABC 内部 7.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ， 且EF=12，则下列结论中错误的是 A. AC ⊥BE B.EF ∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF 的体积为定值D.△AEF 的面积与△BEF 的面积相等 第7题图8.已知有三个命题：①长方体中，必存在到各点距离相等的点；②长方体中，必存在到各棱距离相等的点；③长方体中，必存在到各面距离相等的点。

以上三个命题中正确的有A.0个B.1个C.2个D.3个 9.如果底面直径和高相等的圆柱的侧面积是S ，那么圆柱的体积等于 A.2S S B. 2S S π C. 4SS D. 4S S π 10.如图所示，若Ω是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被平面EFGH 截去几何体B 1EF －C 1HG 后得到的几何体，其中E 为线段A 1B 1上异于B 1的点，F 为线段BB 1上异于B 1的点，且EH ∥A 1D 1，则下列结论中 不正确的是A.EH ∥FGB.四边形EFGH 是矩形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台 第10题图11.如图所示，定点A 、B 都在平面α内，定点P ∉α，PB ⊥α，C 是α内异于A 和B 的动点，且PC ⊥AC 。

那么，动点C 在平面α内的轨迹是A.一条线段，但要去掉两个点B.一个圆，但要去掉两个点C.一个椭圆，但要去掉两个点D.半圆，但要去掉两个点第11题图 第12题图12.如图所示，在单位正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线A 1B 上存在一点P ，使得AP+D 1P 最短，则AP+D 1P 的最小值为22+ B.262C.22D.2第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题～第24题为平行选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13.如图所示，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，侧棱与底面边长均为2a ， ∠A 1AD=∠A 1AB=60°，则侧棱AA 1和截面B 1D 1DB 的距离是_________14.一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为103h=______ 第13题图ABCA 1B 1C 1BDA 11B 1C PE第14题图 第15题图15.如图所示，在正三角形ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中有阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比是_________16.判断下列命题的正确性，并把所有正确命题的序号都填在横线上__________ ①若直线a ∥直线b ，b ⊂平面α，则直线a ∥平面α②在正方体内任意画一条线段l ，则该正方体的一个面上总存在直线与线段l 垂直 ③若平面β⊥平面α，平面γ⊥α，则平面β∥平面γ④若直线a ⊥平面α，直线b ∥平面α，则直线b ⊥直线a 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，AB=CC 1=1，BC=2. （1）求证：A 1C 1⊥AB ；（2）求点B 1到平面ABC 1的距离.18.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD//BC ，∠ADC=90°， BC=12AD ，PA=PD ，Q 为AD 的中点． （1）求证：AD ⊥平面PBQ ；（2）若点M 在棱PC 上，设PM=tMC ，试确定t 的值，使得PA//平面BMQ ．19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，QA ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA=AB=12PD ． （1）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（2）求棱锥Q －ABCD 的的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值．20.（本小题满分12分）在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AD=1，底边AB 上有且只有一点M 使 得平面D 1DM ⊥平面D 1MC.（1）求异面直线CC 1与D 1M 的距离；（2）求二面角M －D 1C －D 的大小.21.（本小题满分12分）已知正四棱锥P －ABCD 的底面边长和侧棱长均为13，E 、F 分别是PA 、BD 上的点， 且85==FD BF EA PE . （1）求证：直线EF ∥平面PBC ；（2）求直线EF 与平面ABCD 所成的角；AA 1CC 1B B 1在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题所得的分计分。

22.（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 是边长为2的菱形， ∠B 1BC=60°， 侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC ，∠ACB=90°，二面角A-B 1B-C 为30°. （1）求证：AC ⊥BB 1C 1C ；（2）求AB 1与平面BB 1C 1C 所成角的正切值；（3）在平面AA 1B 1B 内找一点P ，使三棱锥P-BB 1C 为正三棱锥，并求 该棱锥底面BB 1C 上的高.23.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （1）证明：AC//平面PMD ；（2）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；（3）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小。

24.（本小题满分12分）如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。

（1）试确定PB P A 1的值，使得PC ⊥AB ；（2）若321 PB P A ，求二面角P —AB —C 的大小； （3）在（2）条件下，求C 1到平面PAC 的距离高一2011-2012学年度单元测试卷数学试卷答题纸姓 名：__________ 班 级：__________ 考 场：__________ 座位号：准考证号请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框18.（本小题满分12分）请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框19.（本小题满分12分）用2B 铅笔填涂题号 22 23 24AA 1CC 1B B 1请在各题目的答题区域内作答,超出黑色矩形边框高一2011-2012单元检测题参考答案及评分标准一、选择题，每小题5分，选错或不选不得分二、填空题，每小题5分，第16题选错或少选都不得分 13.a 14.3 15.5816.②④ 三、解答题，考生必须写出解题步骤或证明步骤，只写答案不得分，答题前不写“解”或“证明”字样的扣一分，写了不给分，答题纸上未标注选择哪一道题选做题的不得分，答案答错区域的不得分，超出答题区域的答案不予以审批。

17.（本小题满分10分）证明：（1）连结B A 1，则11AB B A ⊥又∵11BC B A ⊥∴⊥1B A 平面11BC A ∴ 111C A AB ⊥………4分又∵111BB C A ⊥ ∴⊥11C A 平面1ABB∴AB C A ⊥11 …………………4分 （2）由（1）知AC AB ⊥ ∵1AC AB ⊥ ∵1=AB 2=BC∴3=AC 21=AC∴11=∆ABC S …………………6分 设所求距离为d ∵1111ABB C ABC B V V --=∴11113131C A S d S ABB ABC ⋅=⋅∆∆ ∴32131131⋅⋅=⋅⋅d ∴23=d …………10分 18.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）AD // BC ，BC =12AD ，Q 为AD 的中点， ∴ 四边形BCDQ 为平行四边形， ∴CD // BQ ． ∵ ∠ADC =90° ∴∠AQB =90° 即QB ⊥AD ． ∵ P A =PD ，Q 为AD 的中点， ∴PQ ⊥AD ． ∵ PQ ∩BQ =Q ，∴AD ⊥平面PBQ ． ……………………6分 （Ⅱ）当t=1时，P A //平面BMQ ． 连接AC ，交BQ 于N ，连接MN ． ∵BC12DQ ， ∴四边形 BCQA 为平行四边形，且N 为AC 中点，题号 1 2 3 4 5 6 答案 D D B C B A 题号 7 8 9 10 11 12 答案DBDDBACA 1B 1C 1∵点M 是线段PC 的中点， ∴ MN // P A ．∵ MN 平面BMQ ，P A 平面BMQ ，∴ P A // 平面BMQ ． ……………………12分 19.（本小题满分12分）解：（I ）由条件知PDAQ 为直角梯形因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD.又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC.在直角梯形PDAQ 中可得DQ=PQ=PD ，则PQ ⊥QD 所以PQ ⊥平面DCQ. ………………6分 （II ）设AB=a .由题设知AQ 为棱锥Q —ABCD 的高，所以棱锥Q —ABCD 的体积 由（I ）知PQ 为棱锥P —DCQ 的高，而PQ=，△DCQ 的面积为，所以棱锥P —DCQ 的体积为故棱锥Q —ABCD 的体积与棱锥P —DCQ 的体积的比值为1.…………12分 20.（本小题满分12分）证明:(1)过D 作M D DH 1⊥于H∵平面⊥DM D 1平面MC D 1且平面 DM D 1平面M D MC D 11= ∴⊥DH 平面MC D 1 ∴MC DH ⊥又∵1DD MC ⊥ ∴⊥MC 平面DM D 1 ∴DM MC ⊥…………………2分 又∵满足条件的M 只有一个∴以CD 为直径的圆必与AB 相切， 切点为M ，M 为的AB 中点 ∴AD CD =21∴2=CD ………4分 ∵⊥MC 平面DM D 1，∴M D MC 1⊥又∵MC CC ⊥1，所以MC 为异面直线1CC 与M D 1的公垂线段 CM 的长度为所求距离 2=CM …………………6分（2）取CD 中点E ，连结ME ，则⊥ME 平面CD D 1 过M 作C D MF 1⊥于F ，连结EF ，则1CD EF ⊥∴MFE ∠为二面角D C D M --1的平面角…………………9分 又∵1=ME ,530=MF 在MEF Rt ∆中630sin ==∠MF ME MFE∴630arcsin=∠MFE …………………12分BDA 11B 1C EFH21.（本小题满分12分） 证明：（1）连结AF 并延长与BC 交于G ∵ADF ∆∽GBF ∆∴85==FA GF FD BF ∴FAGFEA PE =∴EF ∥PG ………………5分 又∵⊄EF 平面PBC∴EF ∥平面PBC ……………6分（2）∵EF ∥PG∴EF 、PG 与平面ABCD 所成的角相等…………………8分 设AC 、BD 交于O ，连结PO 、OG∵ABCD PO 平面⊥，∴PGO ∠为所求的角……………9分 ∵85==AD BG FD BF ∴8513⨯=BG 在OBG ∆中17813228513221328513221322=⨯⨯⨯⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛=OG …………10分 又∵13=PA 2213=OA ∴2213=OP 在POG Rt ∆中 34174178132213tan ===∠OG PO PGO∴34174arctan =∠PGO …………………12分22.（本小题满分12分）证明：（1）∵平面⊥C C BB 11平面ABC平面 C C BB 11平面BC ABC = 又∵BC AC ⊥ ⊂AC 平面ABC ∴⊥AC 平面C C BB 11…………………4分（2）取1BB 的中点D ，则1BB CD ⊥ ∵⊥AC 平面C C BB 11 ∴1BB AD ⊥∴CDA ∠为二面角C BB A --1的平面角 ∴︒=∠30CDA ∵3=CD ∴1=AC …………………6分CA 1连结C B 1，则C AB 1∠为1AB 与平面C C BB 11所成的角 在1ACB Rt ∆中 21tan 11==∠C B AC C AB …………………8分 （3）在CD 上取一点O 使21=OC DO ，过O 作AC 的平行线与AD 交于P ，则点P 为所求 …………………10分 ∵AC ∥OP ∴⊥OP 平面C BB 1且O 是正C BB 1∆的中心 ∴C BB P 1-为正三棱锥 ∴所求高为3131==AC OP …………………12分 23.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图1，取PD 的中点E ，连EO ，EM 。