三、应变连续方程问题
知识要点回顾
2 x yz
x
zx y
xy z
yz x

2 y zx
y
xy z
yz x
zx y
2 z xy
x
yz x
zx y
xy z
在三维空间内三个切应变分量一经 确定，则线应变分量也就被确定！
三、应变连续方程问题
例题
设 x a x2 y2 ; y axy; xy 2bxy; 其中a、b为常数，
criterion 3. 米塞斯屈服准则★ ★ ★ Mises yield
criterion 4. 屈服准则的几何描述★ ★ Geometrical
representation of yield criterion 5. 屈服准则的实验验证与比较★ Tests &
comparison of yield criterions
max
1
2
max min
1 10 (5) 7.5
2
MPa
八面体应力
8
1 3
1
2
3
1 10 0 5 1.67
3
MPa
8
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
5 14 3
二、几种重要应力的计算
等效应力
3 2
8
3 1 350 5 7 23
MPa
几种重要应力计算问题小 结
2）塑性变形中的滑移与孪生或晶界滑移，都主要与切应力有关。
取应力主轴为坐标轴，则任意斜微分面上的切应力为
？ 2
12l 2
2 2
m2
32n2
1l2 2m2 3n2
2
最大切应力计算公式
max
1 2
max min
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾
3、八面体应力
1）以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点处作与三个应 力主轴等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等。在主轴坐标系空 间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体。正八面体的每个平面 称八面 体平面，八面体平面上的应力称为八面应力。
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
计算应力张量的三个主不变量
J1 x y z 55 5 5
J2
x yx
xy y y zy
yz z z xz
zx x
5 0 5 0 5 5
0
5 0
5 5
5
50
x xy xz
5 0 5
J3 yx y yz 0 5 0 0
2、掌握一点处的主应力及主方向、最大切应力、八面体应力、等效应力 的计算方法;掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、等效应变的计 算方法。
3、掌握应变连续方程。
第四节 屈服准则 Part 4. Yield Criterion
本节主要内容 Contents
1. 基本概念★ ★Concepts 2. 屈雷斯加屈服准则★ ★ ★ Tresca yield
2）八面体平面是一点应力状态的特殊平面，平面上的应力值对研究
一个应力状态有重要作用。
3
Q
2
1
arccos 1 54o44
3
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 3、八面体应力
S1 S2
l1 m
2
S3 n3
8 =S1 S2
l
S3 m l 21 m2 2 n23
n
八面体平面的方向余弦 l m n 1
xzl yzm z n 0
l2 m2 n2 1
（1） （2） （3）
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 2、最大切应力
2 12l2 22m2 32n2 1l2 2m2 3n2 2
1）与正应力一样，切应力也随坐标变换而变化，可取得极值。取其中绝对值 最大的切应力为最大切应力，记为 max 。
1、要求掌握一点处的主应变及主方向、八面体应变、 等效应变的计算方法，由于与应力问题的计算方法相 似，此处不再重复。 2、注意应变连续方程：由位移求应变，连续方程自 动满足；由应变求位移则对边连续方程进行验证。
应力应变分析问题小结
1、掌握应力张量与应变张量的三个主不变量的计算，利用主不变量判断 应力、应变状态的异同；
三、应变连续方程问题
知识要点回顾
小应变几何方程
2 x y2
2 y2
u x
2 xy
u
y
(1)
2 y x2
2 x2
v y
2 v xy x
(2)
(1)式加(2)式
2 x
y2
2 y
x2
2 xy
u y
2 xy
v x
2 u v
xy
y
x
2 2 xy
xy
2 xy xy
二、几种重要应力的计算
知识要点回顾 1、主应力
P11 P12 P13
P21
P22
P23
P31 P32 P33
P1•1 0
0 P2•2
0
0
0 0 P3•3
1）应力张量为实对称张量，通过坐标转换可以得到切应力为零的状态，此时 的应力称为主应力。本质上与矩阵代数中通过初等变换将一个矩阵化为标准 形的问题相同。(主应力就是法应力，不在矩阵主轴上的分量都是切应力。）
xyl y m zyn 0
xzl yzm z n 0
方向余弦条件
l2 m2 n2 1
5 l 0m 5n 0
代 入 数
据
0l
5
m
0n
0
5l
0m
5
n
0
（1）
l2 m2 n2 1
将各主应力代入方程组（1）可得对应的主方向
对于 1 :
5 10l 0m 5n 0
屈服准则
在一定的变形条件下，当各应力分量之间满足一定关 系时，质点才开始进入塑性状态，这种关系称为屈服 准则，又称为塑性条件。
f ij = C
屈服函数
1.2 有关屈服函数的讨论 1.2 Discussion on yield function
? f ij C
弹性状态
? f ij C ? f ij C
5 0 5
ij
0
5
0
(Mpa)
5 0 5
1) 画出该点的应力单元体；
2) 试用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向；
3) 求出该点的最大切应力、八面体应力、等效应力。
二、几种重要应力的计算
例题解答 1) 画出该点的应力单元体 z
O x
5 -5 -5 5
-5 y
二、几种重要应力的计算
a 0 0
1 ij
0
b
0
0 0 0
ab
2
ab 2
0
2 ij
a
b 2
ab 2
0
0
0 0
一、应力张量不变量及其应用
例题解答
对于
1 ij
J1 a b0 a b
J2
a 0
0b
b0
00
00
0
a
ab
a00 J3 0 b 0 0
000
同理，对于
2 ij
J1
a
2
b
a
2
b
0
a
b
ab
J2
0l
5
10
m
0n
0
解
5l
0m
5
10
n
0
之
l2 m2 n2 1
的主方向
1
l1
1; 2
m1 0;
n1
1 2
二、几种重要应力的计算
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
对于 2 : 对于 3 :
l2
1; 2
m2 0;
n2
1 2
l3 0; m3 1; n3 0
3) 最大切应力
P23 P33 P33 P13
P31 P11
P11 P12 P13
P21
P22
P23
P31 P32 P33
一、应力张量不变量及其应用
应力张量是二阶实对称张量，有三个独立的主不变量。 利用应力张量的三个主不变量，可以判别应力状态的异同。
例题
试判断以下两个应力张量是否表示同一应力状态？
8
1 3
1
2
3
m
1 3
J1
3
8
J 2
1J22l2
1 m
022m2
0
0
232nm 2
0
0
01l2
3 m
216m21 32n22
2 2
3
2
3
1
2
1 3
1
2
1 3
2
2
1 3
3
2
1 3
1
2
3
2
3
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2
2 3
J
2
Q
2
1
arccos 1 54o44
zx zy z 5 0 5
应力状态特征方程
3 J1 2 J2 J3 0 3 5 2 50 0 0
( 10)( 5) 0
1 10 2 0 3 5 MPa
二、几种重要应力的计算
例题解答
2) 用应力状态特征方程求出该点的主应力及主方向
齐次线性应力 平衡方程组
x l yxm zxn 0
试问上述应变场在什么情况下成立？