-1
a-1
（ II ）当 f ( x)在[0,1]上单调递增 , 则 0,1 是上述增区间的子集：
1、 a 0 时， f (x)在 ( , ) 单调递增 符合题意
0,1 a 1,
2、
， a1 0
综上， a 的取值范围是 [0 ， 1] 。
a1
三、题型二：根的个数问题
题 1 函数 f(x) 与 g(x) （或与 x 轴）的交点 ======即方程根的个数问题
∴ f (x) 的值域是 [ 4,16]
h( x) f ( x) g(x)
（Ⅲ）令
t x2 (t 1)x 3 x [1,4] 2
思路 1：要使 f ( x) g( x) 恒成立，只需 h(x) 0 ，即 t( x2 2x) 2x 6 分离变量
思路 2：二次函数区间最值
二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围
g( x)
1 kx
2
，
3
，且 f ( x) 在区间 (2,
) 上为增函数．
求实数 k 的取值范围；
若函数 f ( x) 与 g( x) 的图象有三个不同的交点，求实数 k 的取值范围．
解：（ 1）由题意 f ( x) x2 (k 1)x ∵ f (x) 在区间 (2, ) 上为增函数， ∴ f ( x) x 2 (k 1)x 0 在区间 (2, ) 上恒成立（分离变量法）
f ( x) ax 3 1 x2 2x c
例 7、已知函数
2
（ 1）若 x 1 是 f (x) 的极值点且 f ( x) 的图像过原点，求 f ( x) 的极值；
g (x) 1 bx 2 x d
（ 2）若
2
，在（ 1）的条件下，是否存在实数 b ，使得函数 g (x) 的图像与函数 f ( x) 的
f ( x) 1 x 3 a 1 x 2 (4a 1)x
例 4：已知 a R ，函数
12
2
．
（Ⅰ）如果函数 g (x) f (x) 是偶函数，求 f ( x) 的极大值和极小值；
（Ⅱ）如果函数 f ( x) 是 ( ,
) 上的单调函数，求 a 的取值范围．
f ( x) 1 x 2 (a 1)x (4a 1)
由于 2
，欲使 f (x) 与 g (x) 的图象有三个不同的交点，即方程
h(x) 0 有三个不同的实根，故需
k3 k2 1
k1
6 2 3 0 ，即 (k 1)(k 2 2k 2) 0 ∴ k 2 2k 2 0 ，解得 k 1 3
综上，所求 k 的取值范围为 k 1 3
根的个数知道，部分根可求或已知。
即 k 1 x 恒成立，又 x 2 ，∴ k 1 2 ，故 k 1 ∴ k 的取值范围为 k 1
h(x)
f ( x) g( x)
x3
(k 1) x2
1 kx
（ 2）设
3
2
3，
h ( x) x 2 (k 1) x k (x k )( x 1)
令 h ( x) 0 得 x k 或 x 1 由（ 1）知 k 1 ，
合思想”，创建不等关系求出取值范围。
最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础
一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：
第一步：令 f ' (x) 0 得到两个根；
第二步：画两图或列表；
第三步：由图表可知；
其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，
2x
1 bx 2
x
1 (b 1)
2
2
2
整理得：
x3 1 (b 1)x2 x 1 (b 1) 0
即：
2
2
恒有含 x
1 的三个不等实根
h( x) x3 1 (b 1)x2 x 1 (b 1) 0
（计算难点来了： ）
2
2
有含 x
1 的根，
则 h( x) 必可分解为 ( x 1)(二次式 ) 0 ，故用添项配凑法因式分解，
导数题型归纳
请同学们高度重视：
首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法：
1、分离变量； 2 变更主元； 3 根分布； 4 判别式法
5、二次函数区间最值求法： （ 1）对称轴（重视单调区间）
与定义域的关系
（ 2）端点处和顶点是最值所在
其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结
图像恒有含 x 1 的三个不同交点？若存在，求出实数 b 的取值范围；否则说明理由。高
网
解：（ 1）∵ f (x) 的图像过原点，则 f (0) 0 c 0
f ( x) 3ax2 x 2 ，
1考 1资 1源 2
又∵ x 1 是 f ( x) 的极值点，则 f ( 1) 3a 1 2 0 a 1
f (x) 3x2 x 2 (3x 2)( x 1) 0
极大值 递减
极小值
递增
可知： f (x) 的极大值为 f ( 2 3) 4 3 ，
f ( x) 的极小值为 f (2 3) 4 3 .
（Ⅱ）∵函数 f (x) 是 ( ,
) 上的单调函数，
f ( x) 1 x2 (a 1)x (4 a 1) 0
∴
4
，在给定区间 R 上恒成立判别式法
( a 1)2
1 4 (4a
x 3a x a
0a1
f (x)
a
3a
a
3a
令 f ( x) 0, 得 f (x) 的单调递增区间为（ a,3a ）
令 f ( x) 0, 得 f (x) 的单调递减区间为（－
， a）和（ 3a， + ）
∴当 x=a 时， f ( x) 极小值 =
3 a3 4
b;
当 x=3a 时， f ( x) 极大值 =b.
g(0) 0 g(3) 0
30 m2
9 3m 3 0
解法二：分离变量法：
∵ 当 x 0 时 , g (x) x2 mx 3
3 0 恒成立 ,
当 0 x 3 时 , g (x) x2 mx 3 0 恒成立
x2 3
3
m
x
等价于
x
x 的最大值（ 0 x 3 ）恒成立，
3
h( x)
而
x
x（ 0
x
3 ）是增函数，则 hmax ( x)
ba 2
1x1
f ( x)
例 2：设函数
1 x3 2ax 2 3a2 x b(0 a 1,b R) 3
（Ⅰ）求函数 f （ x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的 x [a 1, a 2], 不等式 f (x) a 恒成立，求 a 的取值范围 .
（二次函数区间最值的例子）
f ( x)
解：（Ⅰ）
x2 4ax 3a2
例 3；已知函数 f ( x) x3 ax2 图象上一点 P (1,b) 处的切线斜率为 3 ，
g (x) x3 t 6 x2 (t 1)x 3 2
(t 0)
（Ⅰ）求 a, b 的值；
（Ⅱ）当 x [ 1,4] 时，求 f ( x) 的值域；
（Ⅲ）当 x [1,4] 时，不等式 f (x) g( x) 恒成立，求实数 t 的取值范围。
1)
a2
2a
0，
则
4
解得： 0 a 2 .
综上， a 的取值范围是 { a 0 a 2} .
f ( x)
1 x3
1 (2
a) x2
(1 a)x(a
0).
例 5、已知函数
32
（ I ）求 f (x) 的单调区间；
（ II ）若 f ( x) 在[0 ， 1] 上单调递增，求 a 的取值范围。子集思想 （ I ） f (x) x2 (2 a)x 1 a (x 1)(x 1 a).
x 4 mx3 3 x2
g (x) 0恒成立，则称函数 y
f ( x) 在区间
D 上为“凸函数” ，已知实数
f ( x)
m是常数，
12
6
2
（ 1）若 y f (x) 在区间 0,3 上为“凸函数” ，求 m的取值范围；
（ 2）若对满足 m 2 的任何一个实数 m ，函数 f ( x) 在区间 a,b 上都为“凸函数” ，求 b a 的最大值 .
f (x)
3
2 22
f极大值 (x) f ( 1)
f 极小值 ( x) f ( )
-1
2
2
3
7
3
（ 2）设函数 g(x) 的图像与函数 f (x) 的图像恒存在含 x 1的三个不同交点，
等价于 f ( x) g (x) 有含 x
f ( 1) g( 1) d 1 的三个根，即：
1 (b 1)
2
x3
1 x2
解：
4
.
（Ⅰ）∵ f (x) 是偶函数，∴ a 1.
f ( x) 1 x3 3x f ( x) 1 x2 3
此时
12
，
4
，
令 f ( x) 0 ，解得： x 2 3 .
列表如下： ( － ∞， －
x 2 3)
－2 3
(
2 3 ,2
－
3)
23
f ( x) +
0
－
0
(2 3 ,+ ∞
) +
f ( x) 递增
（Ⅱ）由 | f ( x) | ≤ a，得：对任意的 x [ a 1, a 2], a x2 4ax 3a2 a 恒成立①
则等价于 g( x) 这个二次函数
gmax ( x) a gmin ( x) a