第九章部分习题解答9－2解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。

作用在系统上的主动力为重力g M g M 21,。

如图（a ）所示，假设重物2M 的加速度2a 的方向竖直向下，则重物1M 的加速度1a 竖直向上，两个重物惯性力I2I1,F F 为11I1a M F = 22I2a M F =（a ）该系统有一个自由度，假设重物2M 有一向下的虚位移2x δ，则重物1M 的虚位移1x δ竖直向上。

由动力学普遍方程有 （a ）02I21I12211=--+-=x F x F x g M x g M W δδδδδ （b ）根据运动学关系可知2121x x δδ=2121a a =（c ）将(a)式、(c)式代入(b)式可得，对于任意02≠x δ有212122m/s 8.2424=+-=g M M M M a （b ）方向竖直向下。

取重物2M 为研究对象，受力如图（b ）所示，由牛顿第二定律有222a M T g M =-解得绳子的拉力N 1.56=T 。

本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。

9－4解：如图所示该系统为保守系统，有一个自由度，取θ为广义坐标。

系统的动能为2])[(21θθ R l m T +=取圆柱轴线O 所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为]cos )(sin [θθθR l R mg V +-=M 1gM 2gF I2F I1δx 2δx 1M 2gTa 2拉格朗日函数V T L -=，代入拉格朗日方程0)(=∂∂-∂∂θθL L dt d 整理得摆的运动微分方程为0sin )(2=+++θθθθg R R l 。

9－6解：如图所示，该系统为保守系统，有一个自由度，取弧坐标s 为广义坐标。

系统的动能为221S m T =取轨线最低点O 所在的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为mgh V =由题可知b sds dh 4sin ==ϕ，因此有b s d b s h So8s 42==⎰。

则拉格朗日函数 22821s bmg s m V T L -=-= 代入拉格朗日方程0)(=∂∂-∂∂s L s L dt d ，整理得摆的运动微分方程为04=+s bgs 。

解得质点的运动规律为)21sin(0ϕ+=t bgA s ，其中0,ϕA 为积分常数。

9－13解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度ω绕铅垂轴AB 转动，该系统有一个自由度，取角度θ为广义坐标。

系统的动能为22)sin (21)(21θωθr m r m T += 如图所示，取0=θ为零势位，图示瞬时系统的势能为零势面h)cos 1(θ-=mgr V则拉格朗日函数)cos 1()sin (212222θθωθ--+=-=mgr mr V T L 代入拉格朗日方程0)(=∂∂-∂∂θθL L dt d ，整理得质点的运动微分方程为0sin )cos (2=-+θθωθrg 2.求维持圆环作匀速转动的力偶M如果求力偶M ，必须考虑圆环绕铅垂轴AB 的一般转动。

因此解除“圆环绕铅垂轴AB 匀速ω转动”这一约束，将力偶M 视为主动力。

此时系统有两个自由度，取角度θ和圆环绕轴AB 的转角ϕ为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以ϕ代替ω，则拉格朗日函数为)cos 1()sin (212222θθϕθ--+=-=mgr mr V T L 力偶M 为非有势力，它对应于广义坐标θ和ϕ的广义力计算如下：取0,0=≠δϕδθ，在这组虚位移下力偶M 所做的虚功为0][=δθδW ，因此力偶M 对应于广义坐标θ的广义力0=MQ θ；取0,0≠=δϕδθ，在这组虚位移下力偶M 所做的虚功为δϕδδϕ⋅=M W ][，因此力偶M 对应于广义坐标ϕ的广义力M W Q M==δϕδδϕϕ][。

代入拉格朗日方程0)(==∂∂-∂∂M Q L L dt d θθθ ，整理可得 0sin =+θθrg 代入拉格朗日方程M Q L L dt d M==∂∂-∂∂ϕϕϕ)( ，整理可得 M mr mr =+θϕθϕθ 2sin sin 222 圆环绕铅垂轴AB 以匀速ω转动，即0,==ϕωϕ，代入上式可得θθω2sin 2mr M =。

零势位9－14解： 以刚体为研究对象，有一个自由度。

如图（a ）所示，取G O 3和OC 的夹角θ为广义坐标。

若以框架OC O O 21为动系，则刚体的相对运动是以角速度θ 绕轴21O O 的定轴转动，牵连运动是以角速度ω绕OC 轴的定轴转动，绝对角速度a ω是θ 和ω的矢量和。

以21O O 为x '轴，G O 3为y '轴，建立一个固连在刚体上的坐标系，该刚体的角速度a ω可表示成a ωz j i '-'+'=θωθωsin cos θ（a ） （b ）由于坐标系z y x O '''3的三个坐标轴为过3O 点的三个惯量主轴，则系统的动能为])sin ()cos ([21232221θωθωθJ J J T ++= 取0=θ为零势位，图示瞬时系统的势能为)cos 1(θ-=mgl V ，则拉格朗日函数)cos 1(])sin ()cos ([21232221θθωθωθ--++=-=mgl J J J V T L 代入拉格朗日方程0)(=∂∂-∂∂θθL L dt d ，整理可得物体的运动微分方程为 θθθωθsin cos sin )(3221mgl J J J -=-+9－15x ’ z ’y ’ωθzGωO 3θ 垂直于O 1O 2的平面y ’解：框架（质量不计）以匀角速度ω绕铅垂边转动，系统有一个自由度，取AB 杆与铅垂边的夹角θ为广义坐标。

若以框架为动系，AB 杆上任意一点的速度是该点相对于框架的相对速度和随框架运动的牵连速度的矢量和，且相对速度和牵连速度相互垂直, 因此杆AB 的动能可表示为相对于框架运动的动能和随框架转动的动能之和。

如图所示，AB 杆相对于框架作平面运动，“速度瞬心”为O 点，设AB 杆的质心为C ，由几何关系可知l BC OC AC ===，则质心为C 的速度大小为θl v C =。

杆AB 相对于框架运动的动能 22222C 132])2(121[2121θθml l m mv T =+= 杆AB 随框架转动的动能θωθω2222022sin 32)sin (221ml x dx l m T l ==⎰ 系统的动能21T T T +=。

假设090=θ时杆势能为零，则任意位置系统的势能为θcos mgl V =。

则拉格朗日函数θθωθcos )sin (322222mgl ml V T L -+=-= 代入拉格朗日方程0)(=∂∂-∂∂θθL L dt d ，整理得系统的运动微分方程 0sin 3cos sin 442=--θθθωθg l l 由于角θ描述的是杆AB 相对于框架的位置变化，因此上式也就是杆的相对运动微分方程。

9－17解：取楔块A ，B 构成的系统为研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A 水平滑动的位移x ，以及楔块B 相对于A 滑动的位移s 为广义坐标。

若以楔块A 为动系，则楔块A 的速度A v ，楔块B 的速度B v ，以及B 相对于A 的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）Br A B v v v +=系统的动能为CO xsA vBrv])sin ()cos [(222121222212B B 2A A ϕϕs s x g P xg P v m v m T +++=+= 22222121cos 1)(21s P gs x P g x P P g +++=ϕ 取过x 轴的水平为零势面，某瞬时系统的势能为ϕsin 2s P V =。

则拉格朗日函数ϕϕsin 21cos 1)(212222221s P s P gs x P g x P P g V T L -+++=-= 水平力F 对应于广义坐标x 和s 的广义力计算如下：取0,0=≠s x δδ，在这组虚位移下力F 所做的虚功为x F W x δδδ=][，因此力F 对应于广义坐标x 的广义力F Q Fx =；取0,0≠=s x δδ，在这组虚位移下力F 所做的虚功为s F W s ϕδδδcos ][=，因此力F 对应于广义坐标s 的广义力ϕcos F Q Fs =。

代入拉格朗日方程F Q xL x L dt d F x ==∂∂-∂∂)( ，整理可得 Fg sP x P P =++ ϕcos )(221（a ）代入拉格朗日方程ϕcos )(F Q sL s L dt d F s ==∂∂-∂∂ ，整理可得 g P F sP x P )sin cos (cos 222ϕϕϕ-=+（b ）由方程（a ）、（b ）解得 楔块A 的加速度：ϕϕϕϕsin sin cos sin 2212A g P P P F xa ++== ，方向水平向右。

楔块B 的相对加速度：g P P P P P P FP s a )sin (sin )(cos 22122211Br ϕϕϕ++-==，方向沿斜面向上。

9－18解：取楔块ABC 和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平滑动的位移x ，以及圆柱的转角ϕ（A 点ϕ=0）为广义坐标。

若以楔块为动系，则楔块的速度A v ，圆柱轴心O 的速度o v ，以及轴心O 相对A 的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）Or A O v v v +=圆柱在斜面上作纯滚动有：r v ϕ=Or 。

系统的动能为2212O 12A )21(212121ϕr m v m mv T ++= 221221241])sin ()cos [(2121ϕθϕθϕ r m r r x m xm ++-+=22112143cos )(21ϕϕθ r m x r m xm m +-+= 取过楔块上A 点的水平面为零势面，图示瞬时系统的势能为θϕsin 1r g m V -=则拉格朗日函数θϕϕϕθsin 43cos )(211221121r g m r m x r m xm m V T L ++-+=-= 代入拉格朗日方程0)(=∂∂-∂∂xL x L dt d ，整理可得 0cos )(11=⋅-+ϕθ r m xm m（a ）代入拉格朗日方程0)(=∂∂-∂∂ϕϕL L dt d ，整理可得 θθϕsin 2cos 23g xr =- （b ）求解方程（a ）、（b ）得楔块的加速度： g m m m m x a θθ2111cos 2)(32sin -+==，方向水平向左。

圆柱的角加速度：g rm m m m m ]cos 2)(3[sin )(22111θθϕα-++== ，顺时针方向。