二项式定理1.二项式定理：.)*()(011111100N n b a C b a C b a C b a C b a n n n n n n n nn n n ∈++⋅⋅⋅++=+---2.二项式定理的说明：（1）的二项展开式是严格按照a 的降次幂（指数从逐项减到()n a b +n 0）、b 的升次幂（数从逐项减到）排列的，其顺序不能更改，且各项0n 关于a 、b 的指数之和等于。

所以与的二项展开式是不同n ()n a b +()n b a +的。

（3）二项式项数共有项，是关于与的齐次多项式。

(1)n +a b （4）二项式系数：展开式中各项的系数为，.1-r n C 1,...,3,2,1+=n r （5）二项式通项：展开式中的第项记作，r r T ，共有项。

）（1,...,3,2,1111+==--+-n r b a C T r r n r n r (1)n +（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是与的系数（包括二项式系数）。

a b 如：的nn r r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ）（）（）（）（）（----n r 2221110+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=---第2项的二次项系数为，而第2项的系数为.1n C 1n C -（7）常见二项式：令；1,,a b x ==)*()1(111100N n x C x C x C x C x nn n n n n nn n ∈++⋅⋅⋅++=+--令.1,,a b x ==-)*()1()1(221100N n x C x C x C x C x n n n n n nn n ∈-+⋅⋅⋅++-=-3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即.k n n k n n n n n n n C C C C C C --=⋅⋅⋅==,,,110（2）二项式系数和：令，则二项式系数的和为：1a b ==，变形有：.n n n n n n n C C C C 2110=++⋅⋅⋅++-12321-=+⋅⋅⋅+++n nn n n n C C C C （3）；15314202-=⋅+⋅⋅+++=⋅+⋅⋅+++n n n nn n n C C C C C C （4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和：已知，则n n n x a x a x a x a a x a 22332102...)(2++++=+奇数项的系数和：=_______________________________；n a a a a 2420...+++偶数项的系数和：12531...-+++n a a a a =_______________________________；（5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数是偶数时，则中间项为n 第项的二项式系数取得最大值；如果二项式的指数是奇数时，）（12+n 2nn C n 则中间项有两项，分别为第项和第项，对应的二项式系数，21+n 23+n 12n n C -同时取得最大值。

12n nC+，，.22212n n n nn b a C T =12121-221n n n nn baC T ++=121-21223++=n n n nn ba C T （6）系数的最大、最小项的求法：求展开式中最大、最小项，()n a bx +一般采用待定系数法。

设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应121,,,n A A A +⋅⋅⋅1r +有：且；如果设第项系数最小，应有，r r A A ≥+121++≥r r A A 1r +211+++≤≤r r r r A A A A 且从而解出的范围。

r 4.怎么求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数，其中,,,N r q p ∈且n r q p =++？解：把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n rnC b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为：rq p q r n r n c b a C C -，其系数为rr q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!.5.近似计算的处理方法：当的绝对值很小（趋近于0）且不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，a n 因为这时展开式的后面部分很小，可以忽略n n n n n n n n a C a C a C a C ++⋅⋅⋅++--113322不计。

类似地，有na a n -≈-1)1(.但使用这两个公式时应注意的条件，以a 及对计算精确度的要求。

若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：22)1(1)1(x n n nx x n -++≈+.二项式定理常考题型题型一：二项式定理的逆用题型二：求二项展开式的特定项（1）求单个二项式指定幂的系数（2）求多个二项式乘积的展开式指定幂的系数（3）利用通项公式求常数项（4）求有理项（5）求中间项题型三：求二项式系数或展开式系数最大或最小项（1）一般的系数最大或最小问题（2）特殊的系数最大或最小问题（3）系数绝对值最大的项（4）二项式系数最大的项题型四：赋值法求值题型五：整除性题型六：证明不等式题型七：利用二项式定理求近似值例1.已知C ＋2C ＋22C ＋…＋2n C ＝729，则C ＋C ＋C 的值等于0n 1n 2n n 1n 3n 5n _________例2.二项式（x +32）n （n ∈N *）展开式中只有一项的系数为有理数，3则n 可能取值为（ ）A.6?????? B.7?????? C.8?????? D.9例3.若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系791(2)2n x +数最大的项。

例4.已知等式x 4=（x +1）4+b 1（x +1）3+b 2（x +1）2+b 3（x +1）+b 4，则b 1，b 2，b 3，b 4的值分别为______________例5.若n 是正整数，则除以9的余数是122117777---⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+n n n n n n n C C C ________例6.证明：（1） ()N n n n n ∈≥>,322（2）当且>1，求证：N n ∈n 311(2<+<n n例7.（2002全国）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年—2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为（ ）A.115000亿元B.120000亿元C.127000亿元D.135000亿元变式训练：1.设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的1n xp 和为，若s，则等于______________272p s +=n 2.在（1+x ）3+（1+x ）4+…+（1+x ）2007的展开式中，x 3的系数等于_____________3.把1+(1+x )+(1+x )2+…+(1+x )n 展开成关于x 的多项式，其各项系数和为a n ，则等于______________2312lim 2n +-+∞→n n a 4.（2016浦东新区一模）二项式的展开式前三项系数成等差n xx )21(+数列，则n =_____5.已知(x ＋1)10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10.若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k≤11，k ∈Z )是一个单调递增数列，则k 的最大值是________6.若n⎛⎝ 5.在n的展开式中，所有奇数项的系数之和为1 (1x ＋51x3)024，则中间项系数是______7.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________8.n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则n 等于________(x ＋2x2)9.已知，若的展开式中各项系数的和为1458，则该展0>a 26(1)(1)x ax ++开式中项的系2x 数为___________10.(2011上海十三校二模)在二项式(＋)n的展开式中，各项系数之和x 3x 为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则n ＝________11.（2015闸北区二模）若二项式nx ⎛⎝展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是____________12.（2010辽宁）261(1)()x x x x++-的展开式中的常数项为_________13.（2000北京）求103)1(x x -的展开式中有理项共有________项。

14.（2015全国）25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为__________ 15.（2x -1）（x +y ）5的展开式中，x 3y 3的系数为_______________16.(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为（ ）A.a ＝2，b ＝－1，n ＝5 B.a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C.a ＝－1，b ＝2，n ＝6 D.a ＝1，b ＝2，n ＝517.已知，则的值是__________18.多项式x 10＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2·(x －1)2＋…＋a 10(x －1)10，则a 8的值为_________19.若多项式，则1010221010)1(...)1()1()2(+++++++=+x a x a x a a x 820...a a a +++的值为（ ）A.509B.510C.511D.102220.设，10992210101022101020)1()1()21(x x b x b x b b x a x a x a a x x ++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=++则________=9a 21.已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：（1）a 1＋a 2＋…＋a 7；（2）a 1＋a 3＋a 5＋a 7；（3）a 0＋a 2＋a 4＋a 6；（4）|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.21._____________=++++⋅⋅⋅+++=0101102103107108109101098732C C C C C C C S 22.(2012湖北)设a ∈Z ，且0≤a <13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝_______23.数除以88的余数是_________10101031032102110909090901C C C C ⋅+⋅⋅⋅+⋅-⋅+⋅-24.求的近似值（精确到小数后第三位）。