3．在[M/M/1]:[N/∞/FCFS]系统中，设顾客到达速率为λ，服务速率为μ，求单位时间内被拒绝的 顾客数的期望值。
4．在第一题中，设顾客到达速率增加到12人/小时，这时又增加一个同样熟练的修理工，平均 修理时间也是6分钟。求： （1）店内空闲的概率； （2）店内有两个或更多顾客的概率； （3）计算运行指标L，Lq，W，Wq。
Ls=1.47708 (7) Wq=1.08分钟
Ws=6.08分钟
例10 某车站候车室在某段时间旅客到达服从泊松流分布，平均速度 为50人/小时，每位旅客在候车室内逗留的时间服从负指数分布，平均 停留时间为0.5小时，问候车室内平均人数为多少？ 解：把旅客停留在候车室看做服务，于是就看为M/M/∞/∞/∞
服从负指数分布，平均理发时间为15分钟。求：
（1）顾客来店理发不必等待的概率； （2）理发店内顾客平均数； （3）顾客在理发店内的平均逗留时间； （4）当顾客到达速率是多少时，顾客在店内的平均逗留时间将超过1.25小时。
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=3，=4，=/=3/4=0.75 （1） P0=1-=1-0.75=0.25 （2） （3） （4） ，=3.2，
解：这是一个[M/M/1]:[//FCFS]排队系统
=4，=10，=/=2/5=0.4 （1） P0=1-=1-2/5=3/5=0.6 （2） P3=3(1-)=0.43×0.6=0.0384 （3） 1-P0=1-(1-)==0.4 （4） （5） （6）
（7）
例7．一个单人理发点，顾客到达服从Poisson分布，平均到达时间间隔为20分钟；理发时间
问题解决：
分三种情况考虑： （1） 当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为： （a） 在时间t内没有病人排队，时刻也没有病人到达的概 率为。 （b） 在时间t内有一个病人，内没有顾客到达，但有一位 病人接受诊断后离去的概率为。 （c） 在时间t内没有病人排队，但在时刻内有一位病人到 达，也有一位病人接受诊断后离去的概率为。
例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为200 辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。求L、Lq、W和Wq。
根据题意，=200辆/小时，=240辆/小时，=/=5/6。
例3．设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。 解：设为M/M/1模型。
得利润为多少元？ （5） 求每小时损失掉的顾客数？ （6） 加油站平均有多少辆车在等待加油，平均有多少个车位被占用？ （7） 进入加油站的顾客需要等多长的时间才能开始加油，进入加油站
的顾客需要多长时间才能离去？ 解：
稳态概率关系：
P1=λ/μP0=3/2P0 P2=λ/2μP1=9/8P0
P3=9/16P0
例5．某网络的出口线路只有一条，速率为6.4kbps；该网络的外出报文率平均为每秒4个报文， 设外出报文的产生为泊松过程，报文长度为指数分布，平均长1408比特。 求：
（1） 90%时延和90%等待时间 （2） 如果90%的报文的排队时延不超过5秒，问允许的报文到达率为多大？此时平均队 长为多大？及排队时延增大的百分比各为多少？ 解： （1） =秒 λ=4报文/秒
队长 Ls =λ/μ-λ) 总费用 C=aμ+bLs=aμ+bλ/(μ-λ) 求极值（最小值）
求导dc/du=a+-bλ/(μ-λ)2 所以 μ=λ+(bλ/a)1/2=4.5(只/日)
例12 建造一口码头，要求设计装卸船只的泊位数。
已知：预计到达 λ=3只/天，泊松流
装卸
μ=2只/天，负指数分布。
2 某工人看管六台机器，平均每小时机器要更换一次工件，每更 换一次工件平均要6分钟，已知机器完成一个工件的生产时间和 工人更换工件的时间都服从负指数分布，试求（1）工人空闲的 概率（2）停止生产的机器的平均台数？（3）每台机器为更换工 件平均停工的时间？ 答案：（1）0.4845（2）0.8454（3）0.164小时
5．如果将第10题中的两个修理工分别安排在两家修理店里，成为两个单人修理店，每个店顾客 到达速率都是6人/小时，服务速率都是6分2）将以上运行指标与第10题两个修理工的系统比较。
问题的提出：
在校医院就诊时，我发现外科诊室共有六张诊台，而且经常六张诊 台中总有一两张会被闲置下来。据此现象，我便想到了应如何利用运筹 学知识来根据就诊人数配置诊台的问题。
i链平均时延 E (T i )’ =1/ (2μC i -2λi) = 0.5 E (T i ) i链队长 E (N i )’ =2λi(0.5) E (T i )= E (N i )
-λi) E (N) =E (N i ) E (T) = E (N) / γ
E (N)’ =E (N i )’=E (N i ) = E (N) E (T)’= E (N) ‘/ 2γ= 0.5 E (T)
P4=27/128P0
P5=27/512P0 P6=27/4096P0
由 P0=P1+P2+P3+P4+P5+P6=1 解得：P0=0.22433
P1
P2
P3
P4
P5
0.33649 0.25237 0.12618 0.04732 0.01183
P6 0.00148
运行指标： (1) P0=0.22433 (2) P6=0.00148 (3) P忙=1-P0-P1=0.43918 (4) Μe=145.78（辆/每小时） (5) λ损=λ-λe=3.4218（辆/每小时） (6) Lq=0.26223
P0
0.14286
0.21053
0.22099
Lq
1.92857
0.23684
0.04475
Ls
3.42857
1.73684
1.54475
F
9.14286
8.60526
10.31713
结论：c=3 即设计三个装卸泊位可使每天的总费用最少,8.60526千 元。
课后习题： 1 设顾客以泊松流到达某单服务台理发店，平均每小时到达2人， 理发时间服从负指数分布，平均每人用20分钟，求（1）顾客不 用排队等候的概率；（2）理发店平均有几个顾客；（3）如果要 是顾客站着等的概率不大于0。1，理发店要设几个座位？ 答案：（1）1/3（2）2（3）6
这是M/M/1模型，计算结果如下表。
先前
当前
i链服务率
Ci /(1/μ)= μC I
2Ci /(1/μ)= 2μC i
i链报文到达率
λi
2λi
全网报文到达
γ
2γ
率
全网平均时延 E (T) = E (N) / γ
i链平均时延 E (T i ) =1/ (μC i -λi) i链队长 E (N i ) =λi E (T i )=λi / (μCi
则 略去二阶小量，整理得 。
（2） 当已有n个病人，且时，可分为以下四种情况： （a） 时间t内有n-1个病人在排队，时刻内有一位病人到 达，但没有任何病人被诊断的概率为。 （b） 时间t内有n+1个病人在排队，时刻内没有病人到达， 但有一位病人接受诊断后离去的概率为。 （c） 时间t内有n个病人在排队，时刻内没有病人到达，也 没有任何病人被诊断的概率为。 （d） 时间t内有n个病人在排队，时刻内有一个病人到达， 也有一位病人接受诊断后离去的概率为。
当顾客到达速率增加到每小时大于3.2人，即顾客相继到达的时间间隔缩短到18.75分钟以下 时，顾客在店内平均逗留时间将超过1.25小时。
例8．在上一题（例7）中，如果修理店内已有三个顾客时，店主就拒绝顾客排队。求：
（1）店内空闲的概率； （2）各运行指标L，Lq，W，Wq。 解：
应用举例
例9．某汽车加油站有两台加油泵为汽车加油，加油站内最多能容纳6辆 汽车。已知顾客到达的时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达18辆 汽车。若加油站中已有K辆车，当K≥2时，有K/6的顾客将自动离去。加 油时间服从负指数分布，平均每辆车需要5分钟。试求： （1） 系统空闲的概率为多少？ （2） 求系统满的概率是多少？ （3） 求系统服务台不空的概率 （4） 若服务一个顾客，加油站可以获得利润10元，问平均每小时可获
（3） 病人数时，与情况（2）类似，但相应的概率分别为： （a） （b） （c） （d）
由上面的公式得到： ， ， 解得：
由此可得， 平均病人数目为，
每个病人平均候诊时间为
问题的深入：
以上仅仅求得了平均病人数目和平均就诊时间，我们可以明显的看 到，当有一个诊台数目c时就可以得到对应的平均病人数目和平均就诊 时间，但我们并不能判断何时系统的诊台配置为最优，为此我们将此问 题进一步加以深入。假设加权系数，使得问题化为求，即适当选取c值 使得系统有最小值，则认为此时的c值即为最优选择。将问题进一步简 化，令，则原问题简化为求。 由上一步结论可见，在病人平均候诊时间中含有c的阶乘及乘方项，很 难对此问题进行求解。
装卸费每泊位每天a=2千元，停留损失费b=1.5千元/日
目标是总费用最少。
解：模型 M/M/C/∞/∞ C待定
总费用：F=ac+bLs（c）
离散，无法用求导来解。
考虑。 M/M/C/∞/∞ 要求 ρ=λ/cμ<1 即c>λ/μ=1.5
讨论 c=2,3,4…….
M/M/2/∞/∞ M/M/3/∞/∞ M/M/4/∞/∞
ρ=
报文 秒
=秒 秒 （2）设 则，
报文/秒 报文 ρ增大的百分比为： 排队时延增大的百分比为：
例6、某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达的次数服从Poisson分布，平均每小时4人； 修理时间服从负指数分布，每次服务平均需要6分钟。求：