a)

1 S2

1( a
1 S

1 S
） a
查表得：
Z( GP( s)) S

Tz ( z 1)2

1( a
z
z 1

z

z e aT
)
∴ 有零阶保持器的开环系统脉冲传递 函数为：
G( z) (1 z1 )Z( GP( s)) S
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例二、设离散系统如图所示，其中
1
a
G1( s) S , G2( s) S a
第六章
离散系统
黄勤珍
西南民族大学
※ 6 — 1 线性离散系统
一、信号采样和复现
1、在采样控制系统中，把连续信号转变为 脉冲系列的过程 — 采样过程（采样）
实现采样的装置 — 采样器（开关）T 表示采 样周期(S) ，fs = 1/T （采样频率） (1/S) , 表示采样角频率。
ws

2fs

2
G1( z)
Z( ) S
z1
a
az
G2( z)
Z( S
) a

z
e aT

G(
z)

G1(
z)G2 (
z)

(
z

az 2 1)( z
e aT
)
az 3 C( z) G( z)R( z) ( z 1)2( z eaT )
西南民族大学
系统b：
a G1( s)G2( s) S( S a) G( z) G1G2( z) Z[ a ]
Z 域（朱利稳定判据）且满足：
D(1) > 0 , D(-1)
>0 n 为偶数 <0 n 为奇数
a 0 an
b0 b n1 ......
共 n – 1 个约束条件
q 0 q n1
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例6、已知采样系统的闭环特征方程为
D( z) z3 2 z2 1.31 z 0.28 0
1 G1 *( s)HG2 *( s)
对上式进行 Z 变换 ， 则：
( z) C( z) G1( z)G2( z) R( z) 1 G1( z)HG2( z)
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例5、设闭环离散系统结构图如图所示，试证其 输出采样信号的 Z 变换函数。
C( z) RG( z) 1 GH ( z)
表中第三行元素为：
bk =
a0 an – k an ak
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0.28 1 ∴ b0 = 1 0.28= -- 0.92
0.28 2 b1 = 1 1.31= -- 1.63
0.28 1.31 b2 = 1 2 = -- 0.75 第四行为第三行元素反顺序排列
Ck =
b0 bn – 1 – k bn - 1 bk
D( z) 1 GH( z) 0
为闭环离散系统的 特征方程。
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例4、设闭环离散系统结构图如图所示，试证其 闭环脉冲传递函数
( z) G1( z)G2( z） 1 G1(z)HG 2 (z)
R(s) E(s) E*(s) E1(s) E1*(s)
–
G1(s)
G2(s)_
试判别该系统稳定性。
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解：D(1) = 8 > 0 , D(-1) < 0 , ( n = 3 )
朱利陈列： 行数 z0
1 - 39 2 45 3 - 504 4 - 792
z1
z2
z3
119 - 117 45
- 117 119 - 35
624 - 792
624 - 504
则： a 0 39 an 45 b 0 504, b2 792 b 0 b 2 系统不稳定
(2.736 0.104 K) 0
据劳斯判据得： Kc = 2.4
当 T = 0.5(s) 时，w 域特征方程为
dk =
c0 cn
–
cn – 2 2 ck
–
k
….
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则：
a0 0.28, a1 1, a1 an b 0 0.92, b 2 0.75, b 0 b n1
所有条件均满足，所以系统为稳定系统。
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例7、已知系统的闭环特征方程
D( z) 45 z3 117 z2 119 z 39 0
如果采样器位于系统闭合回路之内 — 闭环采样系统
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误差采样控制的闭环采样系统
e(t)
e*(t)
0
t
西南民族大学
r(t) e(t) e*(t)
C(t)
–
S
Gh(s)
Gp(s)
b(t)
反馈元件函数
H(s)
S:理想采样开关，其采样瞬时的脉冲幅值等于 相应采样瞬时误差信号 e(t) 的幅值，且采样持
续时间 →0
西南民族大动态过程用差分方程来描 述，用Ｚ变换求解差分方程。
四、脉冲传递函数
G( z) C( z) 输出采样信号的Ｚ变换 R( z) 输入采样信号的Ｚ变换 G(z)
r(t)
r*(t)
R(z) G(s)
C*(t)
C(t)
西南民族大学
a系统：
1 G( s) G1( s)G2( s) (S a)( S b)
1
z( eaT ebT )
G( z)

b
[ a (z

eaT
)(
z

ebT
)
b系统：
G1( s)
1 S
a , G1( z)
z z eaT
1
z
G2( s) S b , G2( z) z ebT
相应的闭环特征方程为： D(z) = 1+ G(z) = 0
当 T = 1(s) 时，有 D( z) z2 10.368K 1.3687z (0.264K 0.368) 0
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w1
令 z
得 w 域特征方程
w1
D(w) 0.632 Kw2 (1.264 0.528 K)w
S( S a) z(1 eaT ) ( z 1)( z eaT )
z2(1 eaT ) C( z) G( z)R( z) ( z 1)2( z eaT )
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3、闭环系统传递函数
r(t) e(t) e*(t) G(s)
C(t)
H(s)
( s) C( s) G( z) R( s) 1 HG( z)
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离散化后有：
E *( s) R *( s) HG2 *( s)G1 *( s)E *( s) R *( s)
E *( s) 1 G1 *( s)HG2 *( s)
∴ 输出信号的采样拉氏变换
C *( s) G2 *( s)G1 *( s)E *( s) G1 *( s)G2 *( s)R *( s)
（一）开环系统的脉冲传递函数
１、串联环节的脉冲传递函数
R(s)
C(s)
G1(s) G2(s) G3(s)
G( s) G1( s)G2( s)G3( s)
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例：有两个开环采样系统
r(t) r(t)
1 Sa
G1(s)
1 Sa
1 C(t) Sb
G2(s)
1 C(t) Sb
西南民族大学
a GP( s) S( S a)
求开环系统的脉冲传递函数 G(z)
西南民族大学
r(t)
1 eTS S
GP(s)
C*(t) C(t)
C*(t)
r(t)
1 eTS
GP( s)
S
C(t)
1
C*(t)
GP( s)
e-TS
S
C(t)
西南民族大学
解：
GP( s) S

a S2(S
a 0 0.002, an a4 1, a 0 a4 b 0 1, b 3 0.083, b 0 b 3 c0 0.993, c3 0.513, c0 c3
∴ 系统稳定
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例9、设有零阶保持器的离散系统如图所示，试 求：
（1）当采样周期 T 分别为 1(s) 和 0.5(s) 时 系统的临界稳定 K 值
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系统的开环脉冲传递函数
z
z
G( z) G1( z)G2( z) z eaT z ebT
z2 ( z eaT )( z ebT )
2、有零阶保持器的开环系统
1 eTS Gh( s) S
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例一、具有零阶保持器的开环采样系统如图所示， 其中
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例8、已知离散系统闭环特征方程为
D( z) z4 1.368 z3 0.4z2 0.08 z 0.002 0
试用朱利判据判断系统的稳定性。
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解：由于 n = 4 , 2n – 3 = 5 , 故朱利陈列有5行， D(1) = 0.114 > 0 , D(-1) = 2.69 > 0 (n=4)
（2）讨论采样周期 T 对稳定性的影响
R(s) –
1 eTs TS
K
C(s)
S( S 1)
西南民族大学
解：系统的开环脉冲传递函数
G(
z)

(1

z
1
)Z[