问题分析
现在我们可以知道：血管可以看成无穷多个等 径并且圆心相距无穷小的球包络面组成。因此， 切片上的二维图形就应该是由无穷多个球被截 的圆叠加而成。这些圆都是被截球的大圆或者 小圆，其半径有一极大值R，R同时也是球的半 径。这样一个半径R的圆是球心在切片平面内 的球被截而成的，其圆心为中轴线与切片平面 的交点。假设，中轴线与每张切片有且只有一 个交点，所以每一张切片图上包含且只包含一 个半径为R的圆。我们只要找到这个圆，就可 以定出中轴线与切片平面交点的坐标，用这些 交点坐标我们可以建立起中轴线的空间形态。
问 题 的 提 出
Z=0Z=1Fra bibliotekZ=49Z=50
Z=98
Z=99
血管三维重建的背景
这问题的来源于序列图象的计算机三维重建。 序列图象的计算机三维重建是应用数学和计算 机技术在医学与生物学领域的重要应用之一； 是医学和生物学的重要研究方法，它帮助人们 由表及里、由浅人深地认识生物体的内部性质 与变化，理解其空间结构和形态。 血管是血液流通的通路，其在生命活动中的重 要性是众所周知，诊断师在临床中经常需要了 解血管的分布、走向等重要信息。理想的血管 可以看成是粗细均匀的管道，如何建立其数学 模型是图象三维重建的重要一环。
模型的建立及求解
为了减小搜索的区域，找到切片中血管所在的最小区 域，然后在此区域里逐个象素的搜索。
模型的建立及求解
%先寻找最小区域 [M N]=size(Im);xmin=1;xmax=N; for j=1:N for i=1:M if(Im(i,j)>0) xmax=j; break; end end end for j=N:-1:1 for i=1:M if(Im(i,j)>0) xmin=j; break; end end end
血管三维重建的背景
问题分析
我们将说有100张切片按其在空间的位置 叠加起来，已经可以看到大体的血管的 三维结构。
问题分析
将100张图片叠加在XOY平面，形成血管 在XOY平面上的投影，可以看出血管是 由一系列圆移动形成的。
问题分析
对于每一个切片，仔细观察可以发现： 切片也是由一系列半径不同的圆移动形 成的。
模型的假设
血管粗细均匀，其表面由球心沿某一曲线〔称 为中轴线)且半径固定的球滚动包络而成。 假设管道中轴线与每张切片有且只有一个交点， 球半径固定，切片间距以及图像象素尺寸均为 1。 切点间距尺寸为1，则假设相继切片间连续， 即相继的切片与中轴线的交点是连续的。
模型的假设(更深一层次）
血管粗细均匀的充要条件是各法截面圆之间不相交，这样 可保证各法截面圆周上的点全落在包络面上 (直观地说， 粗细均匀就是过中轴 上的任意点P处用垂直于 在P点切 线方向的刀片切血管得到的截面是以P为圆心以固定的常数 r为半径的圆，称此为过P点的法截面圆)。为此要求 满足 下列条件： 中轴线 上每一点处的曲率半径大于r 中轴线最窄处的宽度d大于2r 中轴线两端点处的法截面圆不相交。 中轴线 上最窄处的宽度d可以这样决定：当 上两点p，q 在这两点处的切线时，或仅垂直在其中一 的连线垂直于 点处的切线而另一点为 的端点时，称p，q为相关点对。 上可以没有相关点对，也可以不止一对相关点对。如果 上无相关点对，则认为d为无穷大，否则取d为相关点对中 的两点间距离的最小值。
问题的提出
现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的 交。图象文件名依次为0.bmp、1.bmp、…、 99.bmp，格式均为 BMP ，宽、高均为512 个象素（pixel ）。为简化起见，假设： 管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片 间距以及图象象素的尺寸均为1。 取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切 片为平面Z=99 。Z=z 切片图象中象素的坐标依它们在文件中出 现的前后次序为： （-256，-256，z）（-256，-255，z）…（-256，255，z）， （-255，-256，z）（-255，-255，z）…（-255，255，z）， …… （ 255，-256，z）（ 255，-255，z）…（255，255，z）。 试计算管道的中轴线与半径，给出具体的算法，并绘制中轴线 在XY、YZ、ZX平面的投影图。
目录
问题的提出 血管三维重建的背景 问题分析 模型的假设 模型的建立及求解 模型的检验
问题的提出
断面可用于了解生物组织、器官等的形态。例 如，将样本染色后切成厚约1m m的切片，在显 微镜下观察该横断面的组织形态结构。如果用 切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平 行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并采样 得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建 组织、器官等准确的三维形态。 假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道 的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线） 的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管 道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包 络形成。
模型的建立及求解
通过以上分析，整个模型的建立分为两个部分：滚球 半径的确定和中轴线的确定。 确定滚球半径的方法有很多：最笨也是最容易想到的 方法就是枚举的方法—— 求每张切片的图象内的最大 内切圆的圆心时，以位于图象内每一个象素为圆心作 圆．遍历所有象素点后再作确定。此种方法，思想简 单，程序简单，但计算量大。 1）平均法 求出每张横断面团象内的最大内切圆半径， 再取r为它们的算术平均值。 2) 抽样法 由于已知 滚动球半径是常数，取前几片切片图象内的最大内切 圆半径的平均值为r的值。 3) 极大似然法 在求得 每一片切片图象内的最大内切圆半径后，进行统计， 以出现频率最大的值为r的值。
问题分析
由以上分析，做出如下的判断： 每个切片中 包含一系列滚球在平面上切出的圆， 其中最大的圆为滚球半径，圆心位于血管的中 轴线上。 血管中轴线在XOY上的投影为所有切片在XOY 平面上叠加形成的阴影的中心线。 在求得所有切片的最大圆圆心后，拟和这些点 形成的曲线就是中轴线。 重建后血管形状应和前面100张切片直接形成 的形状一致（用于进行模型的检验）。