利用u C E 1/ 1 ρ E 1 1/ 1
C ρ
θC 计算u C 。 u C 1 1 1 A ∆C 1/ 1
通过上面的实验可以得出 t+1 时期的预期效用增加为： 2θC ρ A ∆C， 其中实际利率为 A， 2θE C 1 A ∆C
化简上式得预期效用增加为： 如果个人实现最优化自己的行为，则效用成本等于预 期的效用收益： 1/ 1 2θE C 1 由于ρ C 实际消费。 （b）假设消费函数表示如下： C 程K K Y α βK C K AK α 1 e A α βK β K γe 1 γ e γe AK (2) e 代入资本积累方 将方程（2）和生产函数Y 可以得到：K 化 简 得 ： K 1 2θC E C 上式化简得： 1/ 1 ρ 1 A 1 2θE C A，进一步化简上式得： （1） ρ 1 2θC ∆C 1/ 1 ρ 1 A ∆C
将效用成本和效用收益联立，可得：
E E e
N ⁄H
N H N H
∆l
∆
因为e
e
是确定的，并且N
N e ，所
以上式可以简化为： e E (4)
(b)考虑第 t 时期的家庭。假设家庭每个成员降低 当前的消费， 数量为△c， 将增加的财富用于增加下一 期的消费。 下面是教材中 4.23 给定的公式， 假定家庭 的行为是最优的： e E 1 r
从中求解C 可以得到： C 1⁄C ε, 1⁄C 因为1⁄C 是 C 的凸函数， 根据詹森 Jensen 不等式， E 1⁄C 1⁄C 1⁄ 1 1 1⁄C 即：C 1⁄E C ，除此以外，因为协方差是正的， 1 Er E 1⁄C cov 1 Er ε, 1⁄C Y 1 Er C Y 上式可以整理为： Er 1/E C Er C ，可得： 1 Er ⁄ Y Er C Y ⁄2 1 1 1 Er C 2 1 Y Er C ，将此不等式代入 E C E1 Er Y ⁄2 1 ε E 1⁄C Er （10） cov 1 Er 如果 r 是不确定的，从（9）中还可以得出：
因为 a）中，利率的不确定性只有一阶矩效应，b）中 利率的不确定性有二阶矩效应，出现协方差项。 4‐7 答： （a）证明：假定家庭在 t 期增加其劳动供给，数 量为△l。因此，这会为家庭带来更多的财富，从而使 家庭可以在 t+1 期减少劳动供应，并且使各期的消费 保持不变。如果家庭最优化其行为，这种边际变化不 会改变其终生效用。家庭的总效用函数为： U (1) 家庭的代表性个人的 t 时期的效用函数为： u (2) 从方程（1）和（2）中可以得出，在 t 期工作的负边 际效用为： ∂U⁄∂ l (3) 因此，劳动供给量每增加△l 效用成本为： e N ⁄H b/ 1 l ∆l 这一变化提高了 t 期的收入，为ω ∆l，家庭的人 e N ⁄H b/ 1 l lnc bln 1 l ∑ e u c ，1 l N ⁄H
口增长率为e ，因此在 t+1 期增加的人均财富为： e 1 r ω ∆l 如果消费路径不变，需要决定在 t+1 期每人劳动 供给可以减少多少。在 t+1 期每人放弃一单位劳动的 成本为ω ，即放弃 e 1 1 r r ω ∆l /ω 单位劳 动会导致每人收入减少e
N H
ω ∆l。恰好等于
∆
上期增加劳动带来的额外的财富。 预期的效用收益为： E e
式，可以得到： β e
为使（5）成立，需要使两边的K 和e 的系数以及常数 项相等。 首先使K 的系数相等，可得： β 化简得：A β 1 β A β 1 1 （6） β β γ A A A β
其次使e 的系数相等，可得：γ 再转化得： γ
A A
利用方程（6）并化简上式得：γ 1
（7）
最后使常数项相等，可得： α （8） 注意这里忽略了条件 β 限制。 （d）将（6）——（8）代入消费方程（2）和资本积 累方程（3）得： C K AK K
并且经过简单的代数运算可以得出：
maxU (5)
lnC
ElnC s.t.
C1=B1 Er
C ε B Y 1 Er
Y
1
ε C (6)
其中 B1 是代表性个人的贷款数。将（6）式代入预期 效应函数（1）得： U ε C （7） lnC Eln Y 1 Er
第四章习题参考答案 4‐6 答： （a） （1） 实际利率可能是随机的， 定义r 中ε是一均值为零的随机误差项。 maxU U ∂U⁄∂C 0 (3) 化简(3)式得： 1⁄C 由于1⁄ Y E 1⁄ Y C Y ⁄2 (4) 在这种情况下，C1 并不受 r 的确定性的影响。即 使 r 是随机变量，个人仅消费第一期收入的一半而将 另一半储蓄起来。 (b)在这种情况下代表性个人在第一期没有收入， 而在第二期收入 Y2，因此需要最大化。由（1）规定的 预期效用，即： E 1⁄ Y C C 1⁄ Y 0 C C 不是随机的，所以 lnC 1⁄C lnC ElnC (1) Er 1 1 ε Y Er C (2) Er ε Y C 将 C2 代入（1）式，可得： Eln 1 E 对式（2）两边取导数可得： ε ⁄ 1 Er ε， 其
假设家庭的每个成员第 t 时期增加劳动供给，数 量为△l， 将增加的财富用于增加下一期的消费。 下面 是教材 4.26 给定的公式，假定家庭的行为是最优的：
求出1/c ： (5) 由于 4.26 和 （5） 在每期都成立， 因此在 t+1 期， 有： (6) 将（5）和（6）代入（4.23）得： e 两边同乘以ω ，由于E ω e E 这个条件和（a）中得出的一样。 4-8 答： （a）假定代表性个人降低 t 期的消费，为△c，将 增加的财富用于增加下一期的消费。 t 期的效用成本为： 1/ 1 1/ 1 ρ 1 2θC ∆C ρ u C ∆C E ω ，从而： （7）
化简得： (c)将方程（2）和带有滞后项的方程（2）代入一阶方
程（1）中，可得： α βK γv 0， βK γ 1 v α (4) 是K 和v 的函数，而后两者在 t 期是已知的。 α β K α β K βK γv βK βγv γ (5) 1 v α 1 β β 1 A γ 1 v α β α 1 A v E α βK γv 其中，E v βE K 于K 得：
Er (11)
由（10）可以知道， （11）式右边是在确定性条 件下 C1 的最优选择。 因此， 如果 r 由确定变为不确定， 而 E[r]不变，C1 的最优选择变小了。本质上说，如果 个人在第二期支付的利率面临不确定性，他在决定第 一期借款消费时必定会非常谨慎。 问题：为什么同样是面临利率的不确定性，a）b）却 得出不同的结论呢？
如果代表性个人是最优化的，则效用成本等于效用收 益，即： 1/ 1 ρ 1 1 2θE C 已知ρ A，进一步化简上式得： C v E C （1） 上式化简得： 2θ C v 1/ 1 ρ 1 A 1 ρ 1 2θ C 1 v ∆C 1/ 1 2θE C A ∆C
即消费也是一个鞅。 （b）设定效用函数形式为： C K K K K K α βK γv （2） AK 代入资本积累方程 γv A β K γv （3） 将方程（2）和生产函数 Y Y C 得出： Y α α βK 1
上步用到了瞬时效用函数 u C 计算u C 。
通过上面的计算可以得出 t+1 期的预期效用，即： Exp. Gain E 1/ 1 1/ 1 A ∆C ρ ρ u C E 1 1 2θ C A ∆C v 1
其中 A 代表实际利率。因为 v 是白噪声（white noise） 序列， 所以E v E 1/ 1 ρ E 1 ρ u C v 2θ C 0， 因此上式可简化为： 1 1 A ∆C A ∆C 1/ 1
∆C
A∆K 0
A 1 A A
∆e 1 A A
1 A 在存在冲击时消费高出 A。 在 t+1 期，尽管ε 是： ∆e ∆e 1
再次为 0，e
也不同于不存在
冲击时的情况，因为 e 的一阶自回归过程，更精确的 A
由（10）可知，资本存量的变化为： 1 ∆K ∆K ∆e 1 A 1 0 1 A 1 1 A 在上一期，产出上升（1 A），但消费仅上升 了 A，剩余的部分是由于投资或资本存量的增加。由 生产函数Y ∆Y A∆K A AK ∆e 1 e 可知，产出的变化为： A 1 1 A
A A
α 1
β ，除非β
A
1，否则要求：α
0
0，γ
0 并且对 α 无任何
e e
(9) (10)
A
为使分析简化，又不失一般性，假定直到 t 期ε和 e 都等于 0，在 t 期存在一次性的正的冲击 ε 1 A， （假定是 1 也是一样的，目前的假定 在计算上有便利。 ）在 t+1 期，ε再次等于 0。在下面 的分析中，一个变量的变化指它的实际值与不存在冲 击时的值的差别。 在 t 期，K 不受影响。由（10）可知，K 由上期的 资本存量和上期的 e 决定。 由生产函数Y 以推出： ∆Y A∆K ∆e 0 1 A A。 因此在存在冲击时产出高出1 由（9）可知消费的变化为： AK e可
由（9）可知，消费的变化为 A ∆C A∆K ∆e 1 A A A 1 1 A A 1 A 因此，此处消费没有进一步的动态变化，它仍然比ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
未受冲击影响时高出 A。 同理，t+2 时期的变化为： ∆e 1 ∆K A ∆K 1 1 ∆Y A∆K A 1 A ∆C A∆K A 1 A 假设有一期的冲击为ε 1 A。在冲击时，消 费上升 A 然后永久的保持在新水平上，不存在进一步 的变化。 除此以外， 冲击发生 n 期后， 产出的变化为： ∆Y 资本存量的变化为： ∆K 1 A 1 1 A 1 1 A A A ∆e 1 A ∆e A 1 1 A 1 1 1 1 A ∆e 1 A A ∆e
说明消费遵循随机游走，下一期的预期消费等于本期