0 1,0 aK 1,0 a H 1

1
K t sY t K K t
H t B aK K t aH H t A t L t

1
H H t ， 0, 0, 1
yi t Yi t / Ai t Li t ， ki t Ki t / Ai t Li t ，i=N, S
如同索洛模型一样， Ki t sYi t Ki t ， Li t nLi t ，假定两国具有 相同的储蓄率和人口增长率，最后 AN t gAN t ， AS t AN t 。 i. 证明两国平衡增长路径上的 k 值是相同的。 ii. 引入资本是否改变 a)问的答案，并作出解释（继续假定 g=3%） 。 答： a)
L t nL t ， A t gA t
aK 和 aH 分别为实物资本和人力资本存量中用于教育部门的比例
a) 定义 k K / AL ， h H / AL ，推导 k 和 h 方程。 b) 求使得 k 0 的 k 和 h 组合所构成的方程， 在(h, K)空间中画出它， 对 h 亦如此。 c) 该经济是否有一平衡增长路径？如果有，它是否唯一？它是否稳定？平衡增 长路径上人均产量、人均实物资本、人均人力资本的增长率是多少？ d) 假定最初经济处于平衡增长路径上，此时 s 有一个永久性增加，这如何影响 人均产量随时间变动的路径？ 答： a) k 动态学： y(t ) [(1 aK )k (t )] [(1 aH )h(t )]1
i. ii.
B gP

， B
g P (t ) (1 ) g K (t ) ， gC (t )
B (1 ) g K (t )

C (t ) ag K (t ) ， gC (t ) g K (t ) (2) C (t )
B(1 g ) K t ()
3.9 假定有两种生产要素：资本和土地。资本被用于两个部门，而土地仅被用于生产 消费品。 具体而言， 生产函数为 C (t ) KC (t ) R1 ，K (t ) BK K (t ) ， 其中 K C 和 K K 分别为两个部门中利用的资本量 ( KC (t ) K K (t ) K (t ) )。R=1，0 1 ， B 0 。 a) 令 PK (t ) 为 t 时资本品对消费品的相对价格。在两部门中，以消费品单位表示 的资本收入应相等。 用这一事实推导一个将 PK t ，KC t 和参数 , B 联系起 来的条件。如果 K C 以速率 g K t 增长，那么 PK 的增长率 g P t 是多少？
答： a) 每单位资本生产的消费品：
C (t ) [ KC (t )] 1 KC (t )
每单位资本生产的资本品：
K (t ) B K K (t )
由于资本是可以自由流动的。所以两部门每单位资本生产的价值相同即：
[ KC (t )] 1 BPK (t )
PK (t )
利用你在 a）问的结论，用 g K t 表示 gC t 。 给定消费品生产函数， K C 必须以什么速率增长才能使 C 以速率 gC t 增 长？
iii. c)
求以各参数表示的 g K t 和 gC t 。
假定投资收入被征税， 从而家庭面临的真实利率为 1 B g P t 。 税率 如何影响消费的均衡增长率？
由(1)(2)可得： yN (t ) yS (t ) AN (t ) AN (t )
10
b)
e0.03t e0.03(t )
76.8
a) 证明：北部和南部的差别在于南部技术落后北部。由于索洛模型，则有：
ki (t ) sf [ki (t )] (n Ai (t ) Ai (t ) )[ki (t )], i N , S
结果和 a)中一样，单位有效劳动的产量相同，但每工人平均产量不同所以 索洛模型中，经济长期增长只来源于技术进步。
3.15
5
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
考虑对我们的具有实物资本和人力资本的模型的如下形式变化：
Y t 1 aK K t 1 aH H t
aL 接近于 0 得到 yN (t ) AN (t ) (1)
4
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
北部技术增长率为： g N (t ) aN LN
yN (t ) yN (t ) g N (t ) 3%
AN (t ) e0.03t AN (0)
yS (t ) AS (t ) AN (t ) (2)
g A (t ) BK (t ) A(t ) ， g K (t ) sK (t ) 1 A(t )1
BK (t ) A(t ) sK (t ) 1 A(t )1 K (t ) / A(t ) s / B
所以 g K (t ) g A (t ) s B1
A(t ) BY (t ) BK (t ) A(t )1
g A (t ) A(t ) A(t ) BK (t ) A(t ) g K (t ) K (t ) K (t ) sK (t ) 1 A(t )1
b)
(1) ((2)
g A (t ) g A (t ) g K (t ) g A (t ) g A (t ) 0 g K (t ) g A (t ) g K (t ) 0 g K (t ) g A (t )
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
3.7 干中学。假定产量由方程 (3.22) 决定： Y (t ) K (t ) [ A(t ) L(t )]1 ，L 为常数且等 于 1， K (t ) sY (t ) ， A(t ) BY (t ) 。 a) 用 A t ， K t 和各参数表示 g A t 和 g K t 。 b) 在 g A , g K 空间中画出 g A 0 和 g K 0 曲线。 c) 该经济是否收敛于一平衡增长路径？若是这样，该经济中 K、A 和 Y 的增长 率是多少？ d) s 的增加如何影响长期增长？ 答： a)
k (t ) k (t ) K (t ) K (t ) A(t ) A(t ) L(t ) L(t )
k (t ) sy (t ) [ K n g ]k (t )
k (t ) s[(1 aK )k (t )] [(1 aH )h(t )]1 ( K n g )k (t )
所以，消费的均衡增长率随税率的上升而下降。
3.11 知识向穷国传播的延迟。 a) 假 定 世 界 由 北 部 和 南 部 两 个 地 区 构 成 。 北 部 由 YN (t ) AN (t )(1 aL ) LN 和 南部不进行研究和开发， 但是其技术会比北部延迟 AN (t ) aN LN AN (t ) 描述。 年。YS (t ) AS (t ) LS ， AS (t ) AN (t ) 。如果北部每工人平均产量的增长率为 3%，且 aL 接近于 0，要使北部每工人平均产量为南部的 10 倍， 为多少？ b) 假定南北两地区均由索洛模型描述。 yi t f ki t ，其中：
(1 )( B g P (t ))

g K (t )
(1 ) B (1 ) B ， gC (t ) g K (t ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
gC (t ) 2 B (1 ) 0 [ (1 )(1 )]2
c)
在 45 度线上，点点都处于平衡增长路径。 在 D 点 g K (t ) 0, g A (t ) 0 则受到向右下方的合力； 在 F 点 g K (t ) 0, g A (t ) 0 2 次习题课
一旦达到平衡增长路径则： g K (t ) g A (t ) 0 ， g K (t ) g A (t ) 但具体哪个点要看初始的情况。
* k* (t ) kS (t ) N
两国平衡增长路径上的 k 值是相同的。 b) yN
YN Y yN AN ， yS S yS AS LN LS
* * y* AN ， yS yS AS 在 BGP 上 y* N N
10 yN yS AN AS e0.03 76.8

g K (t )
3
2014 年高级宏观经济学第 2 次习题课
g K (t )
B (1 ) B (B ) gC (t ) g K (t ) (1 ) ， (1 )
g K (t )
iii. c)
真实利率为 (1 )( B g P (t )) ，所以 gC (t ) 将(1)、(2)代入得到：
令 cK s(1 aK ) (1 aH )1
k (t ) cK k (t ) h(t )1 ( K n g )k (t ) (1)
h 动态学：
h(t ) h(t ) H (t ) H (t ) A(t ) A(t ) L(t ) L(t )

B
[ KC (t )] 1
K C 以速率 g K t 增长，所以 g P (t )
K (t ) PK (t ) ( 1) C (1 ) g K (t ) PK (t ) KC (t )
g P (t ) (1 ) g K (t ) (1)
b)
gC