二面角的大小用它的平面角来度量
？ ∠A O B
∠A1O1B1
B1 B
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
9
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
A
O
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
（ 0°, 90°]
最小角原理
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。
A
O
B
C
例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求A1B与平面A1B1CD所成的角
D1 A1
C1
B1
O
D A
C B
二、线面角向量法： 范围： [0, ] 2
线面角等于直线的方向向量与平面的法向量
C1
F1
D1
B1
A(1, 0, 0), B(0,1, 0),
1
11
F1( 2 , 0,1), D1( 2 , 2 ,1)
A1
C
所以：AF1
(
1 2
,
0,1),
BD1
(1 2
,
1 2
,1)
A
By
cos AF1, BD1
AF1 • BD1
x
1 1 4
30
| AF1 || BD1 |
5 3 10
42
设平面AB1C的法向量为n (x，y，z)
A
D1
C1
y
D
则n AB1 0，n AC 0
B
C
所以 xx
z y
0 ，取x 0
=
1，
x
得y = z = -1，故n = (1，-1，-1)， cos n，B1C1
01 0 1 3
3 3
所以B1C1与面AB1C所成的角的正弦值为
3。 3
定义:
①向量法
n1，n2
n1，n2
n2
n1，n2
n2
n1，n2
n1
n1
l
l
cos cos n1, n2 cos cos n1, n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角
30
所以 BD与1 A所F1成角的余弦值为 10
二、线面角 斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角
A
O
B
当直线与平面垂直时，直
线与平面所成的角是90°
当直线在平面内或
与平面平行时， 直线与平面所成的角是0°
直线与平面所成的角
[ 0°, 90°]
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°） 异面直线所成的角
所成角
AB,
n
的余角.
n
cos < AB, n >=
AB n
| AB | | n |
sinα = cos < AB, n >
AB n
| AB | | n |
A
B
sinα = | AB n | | AB | | n |
线面角或等于直线的方向向量与平面的法向量 所成角的补角的余角.
例2、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a
∴AC1和CB1的夹角为：
x
3
C
D
y
B
练习：Rt ABC中，BCA 900,现将 ABC沿着平面ABC的法向量
平移到A1B1C1位置，已知 BC CA CC1，取A1B1、A1C1的中
取A1B1、A1C1的中点D1、F1，求BD1与AF1所成的角的余弦值.
解：如图所示，建立空间直角坐标
z
系 C,如xy图z 所示，设 则C：C1 1
1）求AC1和CB1的夹角，
2）求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值
2）直线与平面所成的角
步骤： 1、求出平面的法向量
2、求出直线的方向向量
C1
3、求以上两个向量的夹角，
（锐角）其余角为所求角 A1
B1
设平面ABB1B的法向量：n (1, y, z)
AA1 (0,0, 2a) AB (0, a, 0)
n n
AA1 AB
0 0
(1, (1,
y, y,
z z
) )
(0, (0,
0, a,
2a) 0) 0
0
z y
0 0
n (1, 0, 0)
AC1 (
3 a, 1 a, 22
2a)
A
cos
AC1, n
|
AC1 AC1 |
n | n
|
3 a2 2 3a2
1 2
所以AC1和面ABB1A1所成角的正弦值为
O
B A
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
3
表示方法：
B
∠AOB
O
二面角－AB－
A
A
C
B
l
B
A
二面角－ l－
D
二面角C－AB－ D
5
度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在
两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这 两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
1 2
C B
练习：正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为1.
求B1C1与面AB1C
所成的角正. 弦值
z
解：设正方体棱长为1，以AB，AD，AA1为单 位正交基底，可得 A(0，0，0)，B1(1，0，1)，
A1
C(1，1，0)，C1(1，1，1)，则B1C1 (0，1，0)，
B1
AB1 (1，0，1)，AC (1，1，0)
l
3）角的边都要垂直于二面角的棱
B
范围:[0, ]
10
二面角的计算几何法：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
练习
１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C
的正切值是___2____.
三、面面角： 二面角的范围： [0, ]
已知F1与E1为四等分点，求异面直线
DF1与BE1的夹角余弦值？
z
D1
F1
C1
A1
E1 B1
① 几何法
② 向量法
D A
x
C
B
y
cos DF1,BE1
15 17
cos DF1,E1B
15 17
质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么
区别？
例1、如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 2a 求AC1和CB1的夹角，
分析：求异面直线的夹角
解法步骤：1、写出异面直线的方向
向量的坐标。
Z
2、利用空间两个向量的
A1夹角公式Βιβλιοθήκη 出夹角。C1 B131
AC1 (
2
a, a, 2
2a)
CB1 (
3 a, 1 a, 22
2a)
cos
AC1, CB1
|
AC1 CB1 AC1 | | CB1 |
3 a2 2 3a2
1 2
A
空间“角”问题
空间的角： 空间的角常见的有：线线角、线面角、面面角。
一、线线角：
异面直线所成角的范围：
0,
2
思考：
C
D
CD, AB 与的关系？
A D1
B
DC, AB 与的关系？
设直线CD的方向向量为a，AB的方向向量为b
a
b
a，b
|
a
a，b b
|
结论：
| cos a,b |