第三章 线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解： 化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。

2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。

3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。

求向量γ，使βγα=+32。

解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=-T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。

解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4400000000101102130124220101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。

二、练习提高 ⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。

(√ ) ⑵ 设A 为n m ⨯矩阵，0=Ax 是非齐次线性方程组b Ax =的导出组，则（a ）若0=Ax 仅有零解，则b Ax =有唯一解。

(⨯) （b ）若0=Ax 有非零解，则b Ax =有无穷多解。

(⨯) （c ）若b Ax =有无穷多解，则0=Ax 有非零解。

(√ )⑶ 设A 为n 阶矩阵，α是n 维列向量，若)(0A R AR T=⎪⎪⎭⎫⎝⎛αα，则线性方程组 00=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x A T αα必有非零解。

(√ ) ⑷ 对矩阵()E A M 施行若干次初等变换，当A 变为E 时，相应的E 变为1-A 。

(⨯)⑸ 设向量组321,,ααα线性无关，1β可由321,,ααα线性表示，而向量2β不能由321,,ααα线性表示，则对于任意常数k ，必有321,,ααα，21ββ+k 线性相关。

(⨯)⑹ 设n 维列向量组s ααα,,,21Λ线性相关，A 是n m ⨯矩阵，则s A A A ααα,,,21Λ线性相关。

(√ ) ⑺ 若向量组B 能由向量组A 线性表示，B 和A 的秩分别为B R 和A R ，则A B R R >。

(⨯)⑻ 设A 为n m ⨯矩阵，n m r A R <<=)(，则A 的1-r 阶子式不能为0。

(⨯) ⑼ 设n 元齐次线性方程组的一个基础解系为4321,,,ηηηη，则321211,,ηηηηηη+++,4321ηηηη+++仍为该齐次线性方程组的基础解系。

(√ ) ⑽ 集合},0),,,({2121R x x x x x x x x V i n n ∈=⋅==ΛΛ是一个向量空间。

(⨯) ⒉ 填空题⑴ 齐次线性方程组01334=⨯⨯X A 有非零解的充要条件是__3)(<A R _。

⑵ 若线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+=+-=+414343232121a x x a x x a x x a x x 有解，则常数4321,,,a a a a 应满足的条件是04321=+++a a a a 。

⑶ 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=403212221A ，三维列向量T a )1,1,(=α，已知αA 与α线性相关， 则=a 1- 。

⑷ 若),,0(2k k =β能由)1,1,1(),1,1,1(),1,1,1(321k k k +=+=+=ααα唯一线性表示，则k 满足条件 0≠k 且3-≠k 。

⑸ 设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为1-n ，则线性方程组0=Ax 的通解为 111k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M 。

⑹ 由向量组T T T T )3,2,6,2(,)7,1,1,5(,)4,1,1,2(,)1,1,3,1(4321-=-=--=-=αααα生成的向量空间的维数为 3 。

⒊ 计算题⑴ λ取何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-+=++λλλλλ3213213211x x x x x x x x x 有唯一解，无解或有无穷多解？在有无穷多解时求解。

解：对此线性方程组的增广矩阵进行初等行变换可得[]132131322222111111111111111111011001100111001r r r r r r r r B A b λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ↔--+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-−−−→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→---−−−→---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦M M M M M M M M M M M M所以 当0,1λ≠±时，()()3R A R B ==线性方程组有唯一解。

当0λ=时，()23()R A R B =<=线性方程组无解。

当1λ=±时，()()23R A R B ==<线性方程组有无穷多解。

若1λ=，[]111111010020001000200000r rB A b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦M M M M M M ，解为12131110;00x x c x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦若1λ=，[]111110110200010000000000r rB A b ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−→-−−→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦M MM M M M ， 解为1223110010x x c x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦。

⑵ 已知321,,ααα线性无关，若13322123,2,2αααααα+++a 线性相关，求a 的值。

解：由题意知存在不全为0的321,,k k k ，使得0)23()2()2(133322211=+++++ααααααk a k k ，整理得 0)3()22()2(332221131=+++++αααk ak k k k k因为321,,ααα线性无关，从而有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+0302202322131k ak k k k k由321,,k k k 不全为0知方程组有非零解，则系数行列式必为023-=⇒a ⑶ 设向量t ααα,,,21Λ是齐次方程组0=Ax 的一个基础解系，向量β不是方程组0=Ax 的解，即0≠βA 。

试证明：向量组t αβαβαββ+++,,,,21Λ线性无关。

解： 设有一组数t k k k ,,,1Λ，使得0)()(11=+++++t t k k k αβαββΛ整理该式得0)(111=++++++t t t k k k k k ααβΛΛ ① 用A 左乘上式两边，注意0=i A α，故有0)(1=+++βA k k k t Λ因为0≠βA ⇒01=+++t k k k Λ ②将②代回①式，得到011=++t t k k ααΛ，因为t αα,,1Λ线性无关，故必有01===t k k Λ，再由②式，可得01====t k k k Λ⑷ 已知向量组T T T b a )0,1,(,)1,2,(,)1,1,0(321==-=βββ与向量组T )3,2,1(1-=α，,)1,0,3(2T =αT )7,6,9(3-=α具有相同的秩，且3β可由321,,ααα线性表示，求b a ,的值。

解：对矩阵()321,,ααα做初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--000210931713602931，所以()2,,321=αααR ，且21,αα是一个极大无关组 又因为()=321,,βββR ()321,,αααR ，所以 b a ba 30011121=⇒=-另一方面，3β可由321,,ααα线性表示，所以3β可由21,αα线性表示，即5001310231=⇒=-b b⑸ 设4元齐次线性方程组（Ⅰ）为⎩⎨⎧=-=+004221x x x x ，又已知某齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为T T k k )1,2,2,1()0,1,1,0(21-+。

求：①方程组（Ⅰ）的基础解系；②方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零公共解？若有则求出所有的非零公共解。

①Ⅰ的系数矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10100011A ，2)(=A R 故Ⅰ的基础解系含有224=-个解向量，可取为)0,1,0,0(和)1,0,1,1(- ②Ⅱ的通解为2421321221,2,2,k x k k x k k x k x =+=+=-=，代入Ⅰ可得⎩⎨⎧=-+=++-0202221212k k k k k k 21k k -=⇒所以当021≠-=k k 时，Ⅰ与Ⅱ有非零公共解，非零公共解为)1,1,1,1()1,2,2,1()0,1,1,0(121---=-+k k k⑹ 设有向量组（Ⅰ）：T T T a )2,1,1(,)3,1,1(,)2,0,1(321+-===ααα和向量组（Ⅱ）：T T T a a a )4,1,2(,)6,1,2(,)3,2,1(321+=+=+=βββ。

试问：当a 为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）等价？当a 为何值时，向量组（Ⅰ）与（Ⅱ）不等价？ 解：对βα,构成的矩阵做初等行变换，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++-=463232112110221111),,,,,(321321a a a a βββααα⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-→111100112110221111a a a a 所以，①当1-≠a 时，3),,(321=αααR另外，06463112221,,321≠=+++=a a a βββ，所以3),,(321=βββR故==3),,,,,(321321βββαααR =),,(321αααR ),,(321βββR ，向量组等价②当1-=a 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→200021101111),,,(1321βααα，所以≠),,(321αααR ),,,(1321βαααR ，即1β不能由321,,ααα线性表示，向量组不等价。