谓词演算
命题逻辑及其局限性
命题：不带参数的谓词
谓词：带参数的命题
我们可以很容易地把客观世界的各种 事实表示为逻辑命题，用命题逻辑把各种 命题写成合适公式（），也称“谓词公 式”。例如：
晴天:
表示为
雨天： 表示为
“若为雨天，则非晴天” 表示为
“张三是工人”
表示为
“毛泽东生于年” 表示为
注：上述连字符，只是为了便于阅读，可有可无。
蕴涵真值的确定：
) 若前项取值为假（），不管其后项的真值如 何( )，则蕴涵取值为真()。
) 若后项取值为真（），不管其前项的值为如 何( )，则蕴涵取值为真()。
) 只有在前项为真，后项为假时，蕴涵为假。
() “ ” （非）或“ ”用来否定一个公式的 真值。 (, )
() 命题演算是谓词演算的子集，不使用变量项， 它缺乏用有效的方法来表达多个命题的能力。如：
原子公式举例：
“李的父亲与他的母亲结婚”
[(), ()]
说明：
() 一般可用大写字母串表示谓词符号， 如, 。
() “大写字母＋数字短串”即可表示谓词 符号，也可作为常量符号。如，, , …
() 常量符号与谓词符合的区别要通过上 下文来区分。
() 小写字母表示函数符号，如,
() 原子公式的真、假。对已定义了某个 解释的一个原子公式，只有当其对应的语句 在定义域内为真时，才具有真值；反之，也
() 高俅强抢民女，同样违犯了宋王朝的法律， 却可以横行无忌。
从第二判断看，可以解释得通：
() 晁盖是人而受到法律管制。对晁盖来说，第 二判断的前提成立，因此要治罪。
() 高俅同样是人而不受法律管制。而对高俅来 说，第二判断的前提不成立，故可逍遥法外。
更有甚者，第二判断还包括这样的意思：
“如果不是人，则犯了罪就一定要受到惩罚。”
连词和量词 原子公式是谓词演算的基本“积木
块”，应用连词 （与）、 （或）、蕴 涵（隐含） 或
()连词 表示“合取”，组成复 合句子。例如： “我喜爱音乐和绘画” (, ) (, )
“李住在一幢黄色的房子里”
() 连词 表示“析取”，表示可兼有的“或”。 例如： “李明打篮球或踢足球” (, ) (, )
“所有的乌鸦都是黑的”
() 全称量词 存在量词
：表示“所有的或任一个”
：表示“存在一个，至少有一 个”
( )[() (, )]
( ) (, )
() 约束变量：经过量化的变量
自由变量：未经量化的变量
我们一般关心的是受约束变量，由它构成的 合适公式叫“句子”。
注意：在讨论一阶谓词运算时，不允许对谓
词符号或函数符号进行量化。如下面的表示是不 允许的：
表示：机器人在号房间（）内。
() 原子公式：由若干谓词符号和项组成。
() 常量符号（项）：表示论域内的物体 或实体，可以是物、人、概念或事情。
() 变量符号（项） ：允许不必明确涉及 是哪一个实体，如(, ), , 即为变量。
() 函数符号：表示论域内的函数。例如 函数符号可表示某人与他或她母亲的映射。
( )()
错误！！
谓词公式
谓词公式的定义
原子公式（原子谓词公式）： (, , … , )
分子谓词公式：用连词（ , , 等）把原子谓词公式组成的复合谓词公 式。
谓词逻辑 （部分）
一阶谓词演算是一种形式语 言，其根本目的在于把数学中的 逻辑论证符号化，之所以有用是 其给出了一种数学演绎方法：
旧知识 ——数学演绎— 新知识
参考书：
[]俞瑞钊. 数理逻辑. 浙江大学出版 社.
最重要的三类谓词演算的相互关系：
命题演算 一阶谓词演算 二阶谓词演 算 【注】：本课程对二阶谓词演算不予讨论。
由上述可知，表示知识的陈述性形式称为命 题。
带有参数的命题叫谓词，比起命题来，谓词 有更强的表达能力。谓词逻辑可以表达那些无法 用命题逻辑表达的事实。因为：
（）命题没有概括能力。
为了表达：“是一个城市”，则有多少个城市就 要用多少个命题来表示：
: 代表“杭州是一个城市” : 代表“上海是一个城市” : 代表“北京是一个城市”
：(杭州) 之值为真
：(鸵鸟)
之值为假
（）可以利用谓词在不同的知识之间建立联系。
例如：
() 是人
() 受法律管制
() 犯法
() 受法律制裁
前两个知识单元可联成一个高一级的知识单元： 第一判断：() () 表示：人人都要受法律的管制。 直译：由于是人，则这个人就要受法律管制。 后两个知识单元也可联成一个高一级的知识单元： 第二判断： () () 表示：只要犯了罪，就要受到惩罚。这里不一定 是人，可以是人，也可以是某种动物。
进一步，还可把这两个高级知识单元联成更高级 的知识单元：
{[() ()]
[() ()]} 错误的理解：
“因为人人都受法律的管制，所以任何人犯 了罪一定要受到惩罚。”
正确的意思：
“如果【由于某个是人而受到法律管制】， 则这个人犯了罪就一定要受到惩罚。”
事实上，由第一判断推不出第二判断。例如：
() 晁盖劫了生辰纲，违犯了宋王朝的法律，受 到官府的追究。
() 真值的确定 每个合取项都为真（），则合取值为真。 若析取项中至少又一个取真，则析取值为
真（），否则为假()。
() 连词 表示“如果…那么…”。例如：
“如果兔子跑得最快，那么它取得冠军”
(, ) (, )
蕴涵：用“ ”连接两个公式所构成的公式， 其中，蕴涵的左式称为“前项”，右式成为“后 项”。
例如：兔子犯罪要受到惩罚。
这是因为，如()为假，则不论()如何，第二判断的 前提自然为真，其结论又必然为真。
需特别注意的是：谓词公式对于同名参数置 换的一致性要求使得不同论断之间可以建立起内 在联系。但是这样做的时候必须特别小心，否则 很容易把意思搞错。
句法和语义
谓词逻辑的基本组成部分：
谓词符号、变量符号、函数符号、 常量符号，并用（）、[ ]、{ }和，隔开， 以表示论域内的关系。例如：
………
事实上，上述命题只要用一个谓词()即可表 示，其中可以是杭州、上海、北京……，上述三 个命题变为：
: (杭州)
: (上海)
: (北京)
（）谓词可以代表变化着的情况，而命 题只能 代表某种固定的情况。
对命题而言，其值非真即假，不可变化。例如：
：杭州是一个城市 之值恒真
：鸵鸟会飞
之值恒假
但是，谓词值的真假却可因参数而异。例如：