一、求数列通项公式的三种常用方法2;3.n n S a ⎧⎪⎨⎪⎩1、利用与的关系；、累加（乘）法、构造法（或配凑法、待定系数法）1、利用n n S a 与的关系求通项公式：1-11-1=1;=-.-n n n n n S a S S S S S ⎧⎨≥⎩ ， 当n 时利用 ，当n 2时注意：当也适合时，则无需分段(合二为一)。

例1、设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2，}{n b 为等比数列，11a b =且2211().b a a b -= （Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；解：（1）,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当当;2,111===S a n 时也满足上式。

故{a n }的通项公式为42,n a n =-设{b n }的公比为q ， 111, 4, .4b qd b d q ==∴=则 故1111122,44n n n n b b q---==⨯= 12{}.4n n n b b -=即的通项公式为例2、数列}{n a 的前n 项和为S n ，且111,3, 1,2,3,n n a S a n +===，求：（1）2a 的值。

（2）数列}{n a 的通项公式； 解：（1）由得,,3,2,1,31,111 ===+n S a a n n .313131112===a S a111234222211()(2),3344,(2),...33114,()(2).3331,1,,{}14(), 2.33n n n n n n n n n n n n a a S S a n a a n a a a a q a a n n a a n +-+---=-=≥=≥===≥=⎧⎪=⎨≥⎪⎩(2)由得即，，，是以为首项，为公比的等比数列又所以所以数列的通项公式为例3 已知函数 f (x ) = a x 2 + bx －23 的图象关于直线x =－32对称, 且过定点(1,0)；对于正数列{a n },若其前n 项和S n 满足S n = f (a n ) （n ∈ N *） （Ⅰ）求a , b 的值；（Ⅱ）求数列{a n } 的通项公式；(Ⅰ)∵函数 f (x ) 的图象关于关于直线x =－32对称,∴a ≠0,－b 2a =－32 , ∴ b =3a ①∵其图象过点(1,0)，则a +b －23 =0 ②由①②得a = 16 , b = 12 . 4分(Ⅱ)由(Ⅰ)得2112()623f x x x =+- ，∴()n n S f a ==2112623n n a a +-当n ≥2时，1n S -=211112623n n a a --+- .两式相减得 2211111()622n n n n n a a a a a --=-+-∴221111()()062n n n n a a a a ----+= ，∴11()(3)0n n n n a a a a --+--= 0,n a >∴13n n a a --=，∴{}n a 是公差为3的等差数列，且22111111112340623a s a a a a ==+-∴--=∴a 1 = 4 (a 1 =－1舍去）∴a n =3n+1 9分2、累加（乘）法：11-11112-1. 2 3+2. 3 2-1.14 .(n+1)n n n n n n n n n a a n a a n a a a a n ++++=+=+=+=+例如：、 、、、n 11 12. 2 .+1n n n n a a na a n ++==例如：、 、 3、配凑法或待定系数法或构造法：111 12 1. 2 2 1. 3 3 2.n n n n n n a a a a a a +++=+=+=+例如：、 、、 11+111111+12+1 1.+1 =2--------2.221,=2{}=1=21=.2n n n n n n n nn n n n n n a a a a a a a b b a b b b a a q b ++++=+=+∴=+++==+解：方法一配凑法（或拆配法）即 令则有， 故是以为首项，以为公比的。

比数列因此（）等-11=22=2. 1=2.=2-1.n n n n n n n b q a a ⋅⋅+从而即11111+1--------.2 +122+12 1.+1=2.121+A . -==1,n n n n n n n n n n n n n a a a a a a b b a a a a A b a +++++=+=+=+=++=+解：方法二故可化为（）即令设可化为（）则 2A A 1 则有 即 A 待定系1数法11-11=2{}=1=2=2=22=2. 1=2.=2-1.nn n n n n n n n n b b a q b b q a a +=⋅⋅+，故是以为首项，以为公比的等比数列。

因此从而即2+12+12+12+1 13-2. 2 34-. 32+3. 4 37-2.n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ++++====例如：、 、、 、 2112112+2111121113-3-3--.-12-----=---34-. 1-,=3{ } -3=.=-n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b b a a b b a a a a a a a a a a a a b q a a a a a ++++++++++++==∴==令则有，即（、解：方法一配凑法故是以为 首项，以） 11=-=113.n n n n n n b b q a a b a +=⋅。

因此从而（转化成为类型，用累加法可求出等列为公比的比数）211121212113-,=3-=C(3-3---------34-.3-=C2.)} {3-2n n n n n n n n n n n n n n b a a b a a b a a a a a a a a a a a a +++++++=∴==令则常解：方法二配凑法 数 故每一项均等。

因此 转化成为类型，再用类型的方法数列的常可求出于.n2121111234---.1=1=1=3114==+ --------.1 --3 =333=11= 3n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a αβααβαββαβααβ++++++++==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩=解：方法三取得 （）设 可化为（）则即法 系数 待定或+1121112211112111-11=.3-3=. -=...-34--- ,=31{}=-=3n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a a a a b b q a a a a a a a a b a a b b b a a q a ++++++++++====⋅令则有，故是以为即 。

因此从而 将化为（）等比数列首项，以为公比的 1.n a 即已转化为类型，用累加法可以求出2121111234---.1=1=1=3114==+ --------.3-3- =3331=3=1n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a αβααβαββαβααβ++++++++==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎩⎧⎪=⎨⎪⎩设 可化为（）则即待定系数解：方法四取得 或法 212111213-,{}3- 3.4-3-322-.n n n n n n n n n n n n b a a a a a a a a a b a a a ++++++===令则是每项为 的 。

即已经转化为类型，再用类型的方法可以 将化为 常求出数列注意：1、有时可能将两种或者多种方法综合使用：例 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n T ； （3）求满足2311110101112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大正整数n 的值.（1） 解：∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，∴()114n n n n S S S S +--=-. （配凑法或待定系数学法） ………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，∴214a a =. ……………3分∴数列{}n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列.∴121242n n n a --=⋅=. ……………4分（2） 解：由（1）得：2122221n n a n log log -==-， ……………5分 ∴21222n n T a a a log log log =+++()1321n =+++- ……………6分()1212n n +-=……………7分2n = . ……………8分 （3）解： 23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ……………9分222222222131411234n n ----=⋅⋅⋅⋅()()2222132********n n n⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=⋅⋅⋅⋅ ……………10分12n n+=. ……………11分 令12n n +10102013>，解得：42877n <. ……………13分 故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分例如：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足2*2n n T S n n N =-∈，．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式。

【解析】（1）在2*2n n T S n n N =-∈，中，令1111211n a a a =⇒=-⇔=（2）221122(1)n n n n T S n T S n ++=-=-+，，相减得：12(21)n n S S n +=++从而 212(23)n n S S n ++=++，相减得：2122n n a a ++=+ 12121234a S S a =⇒=+⇔=，得122n n a a +=+ 112222(2)n n n n a a a a ++=+⇔+=+得：数列{2}n a +是以123a +=为首项，公比为2的等比数列11232322n n n n a a --+=⨯⇔=⨯-【评注】本题主要考查数列的有关知识，涉及了“数列前n 项和”概念的正确理解，重点考查了数列{}n a 的前n 项和为n S 与通项n a 的关系，以及由一阶常系数线性递归关系求通项公式的常用方法——配凑法或待定系数法、累加法等，还考查了等比数列的有关知识。