常见数列通项公式的求法(超好)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1常见数列通项公式的求法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.n a n 53=2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n +++=）求n a ，用作差法：{11,(1),(2)n n n S n a S S n -==-≥。

例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。

解：（1）当n=1时，011==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n由于1a 不适合于此等式 。

∴⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。

答案：a n =34 （－14）n-13.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。

（2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+12n （n ≥2），求a n 。

解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1=（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1=3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=12n = a n －a n －1则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12n －2 +…+122 +1=12 －12n练习：已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

答案：n a n 1-23=4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121n n n n n a a aa a a a a ---=⋅⋅⋅⋅(2)n ≥。

例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。

解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得11+=+n na a n n ，1a a n =12a a ·23a a ·34a a …1-n n a a=n n n 11433221=-⋅⋅ 所以n a n 1= 练习： 已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。

答案：.)1-2(12(1n n a n +=5.已知递推关系求n a ，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①1n n a ka b -=+解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且23311=++=++n n n n a a b b 所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .②1n n n a ka b -=+解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1+n q ，得：q q a q p q a n n n n 111+•=++引入辅助数列{}n b （其中n n n q a b =），得：qb q p b nn 11+=+再应用1n n a ka b -=+的方法解决.。

例6. 已知数列{}n a 中，651=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求n a 。

解：在11)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(32211+•=•++n n n n a a令n n n a b •=2，则1321+=+n n b b ,应用例7解法得：n n b )32(23-=所以nn nn n b a )31(2)21(32-== 练一练①已知111,32n n a a a -==+，求n a ；②已知111,32n n n a a a -==+，求n a ； （2）形如11n n n a a ka b--=+的递推数列都可以用倒数法求通项。

例7：1,13111=+⋅=--a a a a n n n 解：取倒数：11113131---+=+⋅=n n n n a a a a⎭⎬⎫⎩⎨⎧∴n a 1是等差数列，3)1(111⋅-+=n a a n 3)1(1⋅-+=n 231-=⇒n a n 练习： 已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n nn a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。

常见数列求和公式及应用1、公式求和法⑴等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=⑵等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n另外，还有必要熟练掌握一些常见的数列的前n 项和公式.正整数和公式有：1(1)2nk n n k =+=∑；21(1)(21)6nk n n n k =++=∑；321(1)[]2n k n n k =+=∑ 例1：已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 ＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 2、倒序相加法121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………则()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……例2：已知22()1x f x x=+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解：∵由2222222111()111111x x x f x f x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 变式训练：如已知函数f(x)对任意x ∈R 都有21)1()(=-+x f x f ，++=)1()0(nf f S n)3()2(n f n f ++…)1()2(nn f n n f -+-+)1(f + ，（*N n ∈），求n S 3、裂项相消法一些常见的裂项方法：⎪⎭⎫⎝⎛+--=+-12112121)12)(12(1n n n n ；1111()()n n k k n n k =-++；n n n n -+=++111；例3： 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=111则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n练习：已知11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.4、错位相减法设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n b a 的前n 项和n S 求解，均可用错位相减法。

例4：求2311234n n S x x x nx -=+++++……例5：设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． （Ⅱ）1212n n n a n b --=．122135232112222n n n n n S ----=+++++，① 3252321223222n n n n n S ----=+++++，② ②－①得22122221222222n n n n S ---=+++++-221111212212222n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭1111212221212n n n ----=+⨯--12362n n -+=-． 练习：3.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和.小结：错位相减法的求解步骤：①在等式两边同时乘以等比数列{}n c 的公比q ；②将两个等式相减；③利用等比数列的前n 项和的公式求和. 5、分组求和法例6、已知数列{}n a 的通项公式为,132-+=n a n n 求数列{}n a 的前n 项和.()()()132********-+++++=++=n a a a S n n n=()()[].135222221-++++++n n=()()[]213221212-++--n n n =.22123221-+++n n n练习：求和：2536+47++(+3)n n ⨯+⨯⨯……。