解：令
，得
，则 是函数
的不动点。
因为
，所以
。
评注：本题解题的关键是通过将 形式，从而可知数列
最后再求出数列 的通项公式。
的换元为 ，使得所给递推关系式转化
为等比数列，进而求出数列
的通项公式，
，求数列 的通项公式。
解：令
，得
的两个不动点。因为
，则
是函数
。所以数列
是以
为首项，以 为公比的等比数列，故
，
则
。
评注：本题解题的关键是先求出函数
的不动点，即方程
的两
个根
，进而可推出
，从而可知数列
为等比数
列，再求出数列
的通项公式，最后求出数列 的通项公式。
例 15 已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
并整理，得
，
，求数列 的通项公式。
，所以 ⑩
。在
式两边取
11
，则
，两边消去
，故
代入 11 式，得 由 得 则 所以数列 比数列，则
， ，
是以
12 及 12 式，
为首项，以 5 为公比的等 ，因此
则
。
评注：本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式
转化为 ，从而可知数列
是等比数列，进而求出数列 公式，最后再求出数列 的通项公式。
解：设
⑥
将
代入⑥式，得
整理得
。
令
，则
，代入⑥式得
⑦
由
及⑦式，
得
，则
，
故数列 因此
是以 ，则
为首项，以 3 为公比的等比数列， 。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
转化为
，从而可知数列
是等比数列，进而求
出数列
的通项公式，最后再求数列 的通项公式。
例 9 已知数列 满足
解：设
将
代入⑧式，得
，求数列 的通项公式。 ⑧
转化为
，
，即得数列 的通
，求数列 的通项公式。
解：
两边除以
，得
，则
，故
因此
，则
评注：本题解题的关键是把递推关系式
转化为
，
进而求出 的通项公式，最后再求数列 的通项公式。 三、累乘法 例 5 已知数列 满足
，即得数列 ，求数列 的通项公式。
解：因为
，所以
，则
，故
所以数列 的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系
的通项公式。 二、累加法 例 2 已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
解：由
得
则
所以数列 的通项公式为
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
转化为
，进而求
出
例 3 已知数列 满足
解：由
得
，即得数列 的通项公式。 ，求数列 的通项公式
所以
评注：本题解题的关键是把递推关系式 进而求出 项公式。 例4 已知数列 满足
解：令
，则
故
，代入
，求数列 的通项公式。 得
即 因为 则
，故
，即
，
可化为
所以
是以
列，因此
， ，则
为首项，以 为公比的等比数
，即
，得
。
评注：本题解题的关键是通过将 形式，从而可知数列
的换元为 ，使得所给递推关系式转化
为等比数列，进而求出数列
的通项公式，
最后再求出数列 的通项公式。 九、不动点法 例 14 已知数列 满足
转化为
求出
，即得数列 的通项公式。
例 6 已知数列 项公式。
满足
解：因为
所以
① ②
，进而 ，求 的通
用②式－①式得
则
故
所以
由
知
，则
，代入③得
， 。
③
，则
，又
所以， 的通项公式为
评注：本题解题的关键是把递推关系式
转化为
，
进而求出 的通项公式。 四、待定系数法
，从而可得当
例 7 已知数列 满足
的表达式，最后再求出数列 ，求数列 的通项公式。
数列通项公式—常见 9 种求法
一、公式法
例 1 已知数列 满足
，
，求数列 的通项公式。
解： 是以
两边除以 ，得
，则
，故数列
为首项，以 为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得
，所以数列 的通项公式为
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
转化为
，说明数列
是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出
，进而求出数列
解：设
④
将 ，得
代入④式，得 ，两边除以 ，得 ⑤
，等式两边消去 代 入 ④式 得
由
及 ⑤式 得
，则
为首项，以 2 为公比的等比数列，则
，则数列
是以
，故
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
从而可知数列
是等比数列，进而求出数列
的通项公式。
转化为
，
的通项公式，最后再求出数列
例 8 已知数列 满足
，求数列 的通项公式。
的通项
六、迭代法 例 11 已知数列 满足
解：因为
，所以
，求数列 的通项公式。
又
，所以数列 的通项公式为
。
评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式
两边取常用对数得
，即
，
再由累乘法可推知 。
，从而
七、数学归纳法 例 12 已知数列 满足 解：由
及
，得
，求数列 的通项公式。
，则
等式
⑨
由
及⑨式，得
则
，故数列
为以
为首项，以 2 为公比的等比数列，因此
，则
。
评注：本题解题的关键是把递推关系式
是等比数列，进而求出数列 再求出数列 的通项公式。
转化为 ，从而可知数列
的通项公式，最后
五、对数变换法 例 10 已知数列 满足 解：因为 常用对数得 设 将 ⑩式 代 入 11 式 ， 得
由此可猜测
，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当 时，
，所以等式成立。
（2）假设当
时等式成立，即
，则当
时，
由此可知，当
时等式也成立。
根据（1），（2）可知，等式对任何
都成立。
评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项 公式，最后再用数学归纳法加以证明。
八、换元法 例 13 已知数列 满足