多因素分析温州医学院环境与公共卫生学院叶晓蕾概念多因素分析是同时对观察对象的两个或两个以上的变量进行分析。
常用的统计分析方法有：多元线性回归、Logistic回归、COX比例风险回归模型、因子分析、主成分分析，等。
多变量资料数据格式例号X1X2…X p Y1X11X12…X1p Y12X21X22…X2p Y2┆┆┆…┆┆n X n1X n2…X np Y nY为定量变量——Linear RegressionY为二项分类变量——Binary Logistic RegressionY为多项分类变量——Multinomial Logistic Regression Y为有序分类变量——Ordinal Logistic RegressionY为生存时间与生存结局——Cox Regression第十五章多元线性回归(multiple linear regressoin) P.261Y，X——直线回归Y，X1，X2，…X m——多元回归（多重回归）例：欲研究血压受年龄、性别、体重、性格、职业（体力劳动或脑力劳动）、饮食、吸烟、血脂水平等因素的影响。
β0为回归方程的常数项（constant)，表示各自变量均为0时y 的平均值；m 为自变量的个数；β1、β2、βm 为偏回归系数（Partial regression coefficient ）意义：如β1表示在X 2、X 3…… X m 固定条件下，X 1 每增减一个单位对Y 的效应（Y 增减β个单位）。
e 为去除m 个自变量对Y 影响后的随机误差，称残差（residual)。
eX X X Y m m +++++=ββββ 22110多元回归方程的一般形式一、多元回归模型为y 的估计值或预测值（predicted value)；b 0为回归方程的常数项（constant)，表示各自变量均为0时y 的估计值；m m 22110X b X b X b b Y ˆ++++= Yˆ由样本估计而得的多元回归方程：b 1、b 2、b m 为偏回归系数（Partial regression coefficient ）意义：如b 1表示在X 2、X 3 …… X m 固定条件下，X 1 每增减一个单位对Y 的效应（Y 增减b 个单位）。
适用条件：线性（linear）、独立性（independent）、正态性（normal）、等方差（equal variance）——―LINE‖。
线性——自变量与应变量的关系是线性的。
用散点图判断。
独立性——任意两个观察值互相独立。
常利用专业知识判断。
正态性——就自变量的任何一个线性组合，应变量y均服从正态分布。
即要求残差服从正态分布。
常用残差图分析。
等方差——就自变量的任何一个线性组合，应变量y的方差均相同。
即要求残差的方差齐性。
用散点图或残差图判断。
多元线性回归除具有直线回归的基本性质外，还具有以下特点（用途）：（1）因素筛选：（因素分析）例如影响高血压的诸多因素中：1）哪些是主要因素？2）各因素的作用大小？（2）提高回归方程的估计精度多元回归比只有一个自变量的简单直线回归更能缩小应变量Y对其估计值的离差，在预测和统计控制方面应用的效果更好。
（3）控制混杂因素二、多元回归分析步骤（1）用各变量的数据建立回归方程（2）对总的方程进行假设检验（3）当总的方程有显著性意义时，应对每个自变量的偏回归系数再进行假设检验，若某个自变量的偏回归系数无显著性，则应把该变量剔除，重新建立不包含该变量的多元回归方程。
对新建立的多元回归方程及偏回归系数按上述程序进行检验，直到余下的偏回归系数都具有统计意义为止。
最后得到最优方程。
例15-1（P.262）27名糖尿病人的血清总胆固醇、甘油三脂、空腹胰岛素、糖化血红蛋白、空腹血糖的测量值列于表15-2中，试建立血糖与其它几项指标关系的多元线性回归方程。
表15-2 27名糖尿病人的血糖及有关变量的测量结果序号i总胆固醇甘油三脂胰岛素糖化血血糖（mmol/L）(mmol/L)(μU/ml)红蛋白(%)(mmol/L) X1X2X3X4Y1 5.68 1.90 4.538.211.22 3.79 1.647.32 6.98.83 6.02 3.56 6.9510.812.3………………26 5.840.928.61 6.413.327 3.84 1.20 6.459.610.4Coefficients a5.943 2.8292.101.047.142.366.078.390.701.351.204.309 1.721.099-.271.121-.339-2.229.036.638.243.3982.623.016(Constant)总胆固醇x1甘油三脂x2胰岛素x3糖化血红蛋白x4Model 1B Std. ErrorUnstandardized CoefficientsBetaStandardized CoefficientstSig.Dep endent Variable : 血糖ya. 由上表得到如下多元线性回归方程：4321638.0271.0351.0142.0943.5ˆX X X X Y +-++=1、建立回归方程2、回归方程的假设检验——F检验⏹结果无显著性1）表明所观察的自变量与应变量不存在线性回归关系；2）也可能由于样本例数过少；⏹结果有显著性表明至少有一个自变量与应变量之间存在线性回归关系。
H0：β1=β2=…=βm= 0H1：β1、β2、…βm不等于0或不全等于0ANOVA b133.711433.4288.278.000a88.84122 4.038222.55226Regression Residual TotalModel1Sum of Squaresdf Mean SquareF Sig.Predict o rs : (C onstant), 总胆固醇x1, 胰岛素x3, 糖化血红蛋白x4, 甘油三脂x2a. Dep enden t Variable: 血糖yb.Coefficients a5.943 2.8292.101.047.142.366.078.390.701.351.204.309 1.721.099-.271.121-.339-2.229.036.638.243.3982.623.016(Constant)总胆固醇x1甘油三脂x2胰岛素x3糖化血红蛋白x4Model 1B Std. ErrorUnstandardized CoefficientsBetaStandardized Coefficientst Sig.Dep endent Variable : 血糖ya. 3、各个偏回归系数的假设检验——t 检验将总胆固醇(X 1)剔除。
注意：通常每次只剔除关系最弱的一个因素。
对于同一资料，不同自变量的t 值可以相互比较，t 的绝对值越大，或P 越小，说明该自变量对Y 所起的作用越大。
重新建立不包含提出因素的回归方程432663.0287.0402.0500.6ˆX X X Y +-+=Coefficients a6.500 2.3962.713.012.402.154.354 2.612.016-.287.112-.360-2.570.017.663.230.4132.880.008(Constant)甘油三脂x2胰岛素x3糖化血红蛋白x4Model 1B Std. ErrorUnstandardized CoefficientsBetaStandardized Coefficientst Sig.Dep ende nt Variabl e : 血糖ya. 注意：表中偏回归系数已变化。
对新建立的回归方程进行检验检验结果有显著性意义。
ANOVA b133.098344.36611.407.000a89.45423 3.889222.55226Regression Residual TotalModel 1Sum of Squaresdf Mean SquareF Sig.Predicto r s: (Con s t a nt), 胰岛素x3, 甘油三脂x2, 糖化血红蛋白x4a. Dep enden t V ariable: 血糖yb.Coefficients a6.500 2.396 2.713.012.402.154.354 2.612.016.663.230.413 2.880.008-.287.112-.360-2.570.017(Constant)甘油三脂x2糖化血红蛋白x4胰岛素x3Model1BStd. ErrorUnstandardized Coef ficientsB etaStandardized Coef ficientst Sig.Dep enden t Variable: 血糖ya.对新方程的偏回归系数进行检验•检验结果均有意义，因此回归方程保留甘油三酯(X 2)、胰岛素(X 3)和糖化血红蛋白(X 4)三个因素。
•最后获得回归方程为：432663.0287.0402.0500.6ˆX X X Y +-+=1、确定系数（R 2）：总回归SS SS R 2意义：在y 的总变异中，由x 变量组建立的线性回归方程所能解释的比例。
0~1，越大越优。
特点：R 2是随自变量的增加而增大。
因此，在相近的情况下，以包含的自变量少者为优。
三、回归方程的评价２、R ——复相关系数（multiple correlation coefficient ）表示m 个自变量共同对应变量线性相关的密切程度。
0≤R≤1。
即Y 与的相关系数。
Yˆ３、校正确定系数（adjusted R-square ，R2a）越大越优。
R 2a 不会随无意义的自变量增加而增大。
是衡量方程优劣的常用指标。
校正确定系数的计算：()总残MS MS 11p n 1n )R 1(1R 22a-=-----=p 为方程中包含的自变量个数，p≤ m 。
R 2一定时，p ↑→ R 2a ↓P.268Model Summary.775a .601.528 2.0095.773b .598.5461.9721Model 12R R Square Adjusted R Square Std. Error of theEstimatePredic t o rs: (C o nstant), 糖化血红蛋白x4, 甘油三脂x2, 胰岛素x3, 总胆固醇x1a. Predic t o rs: (C o nstant), 糖化血红蛋白x4, 甘油三脂x2, 胰岛素x3b.四、各自变量的评价1、偏回归平方和从回归方程中剔除后所引起的是指将某自变量xj对应回归平方和的减少量——间接反应了自变量xj变量的贡献大小。