求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换（由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A 的行列式A 值和它的伴随矩阵*A .当A 的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.）定义2.13 矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换： (1) 将矩阵中某两行对换位置； (2) 将某一行遍乘一个非零常数k ；(3) 将矩阵的某一行遍乘一个常数k 加至另一行. 并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换. 矩阵A 经过初等行变换后变为B ，用A →B表示，并称矩阵B 与A 是等价的.（下面我们把）第i 行和第j，”；把第i行遍乘k k ”；第j 行的k 倍加至第i 为“ + k ”.例如，矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c a a a b b b ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321kc kc kc b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321c c c b b b a a a ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++321332211321c c c ka b ka b ka b a a a （关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材）二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n 阶可逆矩阵A ，经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I ，那么用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I 上，就可以把I 化成A -1.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A 的右边写上一个同阶的单位矩阵I ，构成一个n ⨯2n 矩阵 ( A , I )，用初等行变换将左半部分的A 化成单位矩阵I ，与此同时，右半部分的I 就被化成了1-A .即( A , I )初等行变换−→−−−( I , A -1 )例1 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--232311111③k ①，② ②+①k求逆矩阵A -1 . 解 因为[A , I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100232010311001111 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----102010011220001111 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1212510002121110001111 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----1212510010201012127011 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12125100102010221211001所以 A -1= ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----12125102221211所求逆矩阵A -1是否正确，可以通过计算乘积矩阵A A -1进行验证.如果A A -1=I 成立，则A -1正确，否则不正确.对给定的n 阶矩阵A ，用上述方法也可以判断A 是否可逆.即在对矩阵[ A , I ] 进行初等行变换的过程中，如果[ A , I ]中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A 是奇异的，即0=A ，可以判定A 不可逆；如果[ A , I ]中的左边的方阵被化成了单位阵I ，说明A 是非奇异的，可以判定A 是可逆的，而且这个单位矩阵I 右边的方阵就是A 的逆矩阵A -1，它是由单位矩阵I 经过同样的初等行变换得到的.例2 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----116504612，问A 是否可逆？ 解 因为[ A , I ] =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----100116010504001612→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----10317200121720001612 →⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----1110000121720001612[ A , I ]中的左边的矩阵A 经过初等行变换后出现零行，所以矩阵A 是奇异的，A 不可逆.②+①(-1)③+①(-2) ②(1/2)③+② ①+③(-1) ②+③(-1) ①+②（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程.）例3 解矩阵方程AX = B ，其中 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---423532211，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453211解 [思路] 如果矩阵A 可逆，则在矩阵方程AX = B 等号的两边同时左乘A -1，可得A -1AX = A -1B ， X = A -1B因此，先用初等行变换法判别A 是否可逆，若可逆，则求出A -1，然后计算A -1B ，求出X .因为 [ A , I ] = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---100423010532001211→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----103210012110001211→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----11510001211001311→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115100127010102001→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115100127010102001所以 A 可逆，且 A -1=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115127102X = A -1B = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----115127102⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---453211=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---429623三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式A 判别方阵A 是否可逆的方法，除了这种方法外，还可以利用矩阵A 的特征之一——矩阵的秩来判别方阵A 的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用. 在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.定义2.15 在矩阵A 中，位于任意选定的k 行、k 列交叉点上的2k 个元素，按原来次序组成的k 阶子阵的行列式，称为A 的一个k 阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--324423211123取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式22212=称为A 的一个二阶子式，而且是它的非零子式.定义2.16 矩阵A 的非零子式的最高阶数称为矩阵A 的秩，记作r A ()或秩(A ) . 规定：零矩阵O 的秩为零，即r O ()= 0.例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A 的所有三阶子式均为零，（该矩阵没有四阶子式），所以 r A ()= 2 .例5 设A 为n 阶非奇异矩阵，求r A ().解 由于A 为非奇异矩阵，即A 对应的行列式0≠A ，所以A 有n 阶非零子式，故 r A ()= n .例5的逆命题亦成立，即对一个n 阶方阵A ，若r A ()= n ，则A 必为非奇异的. 因此n 阶方阵A 为非奇异的等价于r A ()= n . 称r A ()= n 的n 阶方阵为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的.利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.定理2.10 设A 为n m ⨯矩阵，则r A ()= k 的充分必要条件为：通过初等行变换能将A 化为具有k 个非零行的阶梯阵.例如，阶梯阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000001040053162，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--200140531因为A 的非零行有二行，而B 的非零行有三行，所以A 的秩等于2，B 的秩等于3，即r A ()= 2，r B ()= 3.那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.定理2.9 矩阵经过初等行变换后，其秩不变. （证明见教材）定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A 化成阶梯阵，然后算出矩阵A 的秩.例6 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502， B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411 求r A ()，r B ()，r AB ().解 因为 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502②①+−→−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡26402502 所以 r A ()= 2因为 B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411②①③①++−→−−32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--21104220317100411 ③②④②+-+-−→−−−()()21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----51600103200317100411④③+-−→−−−()12⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---0000103200317100411所以 r B ()= 3因为 AB = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-01422502⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----2110460235230411=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---861016242048 AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---861016242048②①+-−→−−−()2⎥⎦⎤⎢⎣⎡---5646180242048 所以 r AB ()= 2由例6可知，乘积矩阵AB 的秩不大于两个相乘的矩阵A , B 的秩，即 r AB ()≤ min{(),()}r A r B .例7 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----01211024221160310030 求r A ()和)(A r '.解 因为 A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----01211024221160310030(,)①④−→−−⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----10030024221160301211②①③①+-+-−→−−−()()32⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---10030040001403001211−−−→−-+-+)1()1(②④③②⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--00000040001003001211 所以 r A ()=3 同理可得 )(A r '=3由例7可知，矩阵A 与它的转置矩阵A '的秩相等. 可以证明例6，例7的结论具有一般性.定理2.11 设A 为m ⨯n 矩阵，则 (1) 0≤≤r A m n ()min{,}； (2) r A () = r A T ()。