（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等． （2）增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的， 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的， 且中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数
n 2 n
C
相等，且同时取得最大值。 n （3）各二项式系数的和 C0 C1 C2 Cn 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
1 3 4 1 4 ) 1 C ( ) C ( ) C ( ) C4 ( ) x x x x x r 二项式系数： n 4 6 4 1 C 1 2 3 4 . 项的系数：该项所有常数因子的积. x x x x
解: 1 （
１4 例１：求（１＋ ) 的展开式 x 1 1 1
4 1 4 2 4
2
3 4
例２：2 x (
1 x
) 展开式中第 3项的二式系项数
6 5 4 2 1 ) 2 x 240 x 2 x x
2
6
及第3项的系数
T3 T21
2 C6 (2
x ) (
4
1
2 第三项的二项式系数为 C6 15
，第三项的系数为240.
解:
x 3 9 ( ) 的展开式常数项 例３： 3 x 1
二项式定理：
*
理 特 征
右边的多项式叫做的
(a b)n 展开式
1.二项式系数规律：
0 1 2 n Cn、Cn、Cn、 、Cn
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项和的第一项a的次数由n降到0， 第二项b的次数由0升到n. 3.项数规律： 两项和的n次幂的展开式共有n+1个项 4.通项公式：Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
练习：
x 3 9 ) 的展开式的中间两项 1、求 ( 3 x
x 9 4 T5 T41 C ( ) ( 3 5 x 9 5 T6 T51 C9 ( ) ( 3 2
4 9
解: 展开式共有10项,中间两项是第5、6项。
3 4 3 ) 42 x x 3 3 5 ) 42 x 2 x
考察在 n=1, 2, 3, 4 时，(a+b) n 的展开式的系数规律.
我国古代优秀成果介绍：
(a+b)1= (a+b)2= (a+b)3= (a+b)4=
a+b , a2+2ab+b2 , a3+3a2b+3ab2+b3 , a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 . 1
列出上述各展开式的系数： 规律: (1)表中每行两端都是1 (2)其它各数都是它肩上两数的和.
二项式定理
b) 对于（a+b）n = (a b )(a b ) (a
的展开式有哪些项？
n个
二项式定理
(a+b)n bn
=C a +C
0 n n
1 n-1 na b+
C
2 n-2 2 r n-r r n a b +…＋ n b +…+ n a n
C
C
右边的多项式叫做 (a+b)n 的二项展开式, 它一共有 n+1 项. 其中各项系数 Cnr (r=0, 1, 2, …, n)叫做二项式系数 式中的项 Cnr an-rbr 叫做二项展开式的通项,是第r+1 项, 记作 Tr+1 即
2.已知（ x
系数与第３项的二项式系数之比是：１４：３， 求展开式中的第４项
) n 的展开式中，第５项的二项式 2 x
二项式系数的性质
(a b) C a C a b C a b C b (n N )
n 0 n n n n n
1 n 1 1 n
r n r r n
n 2 n
C
相等，且同时取得最大值。 n （3）各二项式系数的和 C0 C1 C2 Cn 2n n n n 且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和2n-1
C
n 1 2 n
、
C
n 1 2 n
特值思想、不可忽视
二项式定理对任意的数a、b都成
立，当然对特殊的a、b也成立！
r 9
1 9 3 变式：求（ x 2 ) 展开式中含 x 的项 x
通项公式： Tr+1= Cnr an-rbr (r=0, 1, 2, …, n)
9 r r x 9r 3 r r 1 9r r Tr 1 C ( ) ( ) C9 ( ) 3 x 2 3 3 x 1 由9-r- r 0得r 6. 2 6 1 96 6 T7 C9 ( ) 3 2268 3
Tr+1= Cnr an(1)展开式各项中a、 b的指数及各项系数的递变规律.但指数和为n (2)通项公式中a、 b的指数及其系数和所在项数之间的关系. 试一试：写出 (1+x)n 的展开式及其通项公式。
总 结
(n N ) 定 (a b)n Cn0a n Cn1a n1b Cnr a nr br Cnnbn
1 1
1
1 1 3
2
3
1
1
试一试：你能根据杨 辉三角形写出(a+b)5 的展开式吗？
4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
杨辉三角形
(a+b) 5= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5
(1 x ) C C x C x C x ;
n 0 n 1 n r n r n n n 0 1 r n (1 1)n Cn Cn Cn Cn ; 0 1 r n (1 x )n Cn Cn x (1)r C n x r (1)n C n x n ;
C
n 1 2 n
、
C
n 1 2 n
例１：已知（１＋x)n展开式中x2 的系数等于 x的系数的３倍，求二项式系数最大的项
解:
例2：已知（１－２x)n展开式中二项式系数和 及所有项的系数之和
解:
变式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6，
求 ( 1 )奇次项的二项式系数之和 （2）a0+a1+a2+a3＋a4+a5＋a6的值 （3）a1+a2+a3＋a4+a5＋a6
二项式系数的性质
(a b) C a C a b C a b C b (n N )
n 0 n n n n n
1 n 1 1 n
r n r r n

（1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 等． （2）增减性与最大值 二项式系数前半部分是逐渐增大的， 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的， 且中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数