8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。
解：(1)求支反力R A =,R B = (2)画内力图如图所示。
xPl(-)(+)PlMkN ·m)PPy(-)(-)(+)VkN)题8-9图(3) 求梁各点的正应力、剪应力：(4)画各点的应力单元体如图所示。
9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。
（a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。
111max 222222333333max 442330,22(')[()]448114()121200(0,0)16ZZZ ZzV pA b hh h hP P b M V S Pl hy I I bb h b h b M SM PlW b h σττστστστ==-=-⋅=-⋅⋅-⋅⨯⨯-⋅=⋅=⋅==⋅⨯⨯⨯⨯⋅=====-=-=⨯⨯80A-+16080T (kN ·m )（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：A 、B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示：331601020.21680510.216A A t bB t T Pa kPa W T Pa kPaW τπτπ===⨯===-⨯（b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。
-+120VkN)40MkN ·m)+120402060题9-1（b ）（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：A 点所在截面剪力为正，A 点横截面的剪力为顺时针，同时A 点所在截弯矩为正下拉，而A 点是压缩区的点。
B 点所在截面剪力为负，B 点横截面的剪力为逆时针，同时B 点所在截弯矩为正下拉，而B 点是拉伸区的点。
单元体如图所示：333.3333.60100.0537.50.1200.21212010(0.1200.050.075) 5.6250.1200.20.1201220100.0512.50.1200.2124010(0.1200.05A A A tA z A A tB B B t B z B B t M y Pa MPaI V S Pa MPaI b M y Pa MPaI V S I bστστ⨯=-⋅=-⨯=-⨯⋅⨯⨯⨯⨯=⋅==⋅⨯⨯⨯=⋅=⨯=⨯⋅-⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅g g 30.075) 1.8750.1200.20.12012Pa MPa=-⨯⨯9-2（c解：(1)由题意知：30,20.5030ox x y MP MPa MP στσα==-==，，。
(2)求30o 斜截面上的应力cos 2sin 22230503050cos 60(20)sin 6052.32()223050sin 2cos 2sin 60(20)cos 6018.67()22x x x xx o o o o x x x MPa MPa αασσσσσατασστατα+-=+-+-=+--⨯=--=+=+-⨯=- (e) 试用解析法求出（1）图示应力单元体-30o 斜截面的应力。
（2）主应力与主方向，以及面内的剪应力极值；（2）在单元体上标出主平面。
解：(1)由题意知：oMPa MP x x 30.20,10-=-=-=ατσ。
见图（a ）(MP a )σ3=-.62O(a) (b)题9-2e 图(2)求α斜截面上的应力。
cos 2sin 222100100cos(60)(20)sin(60) 6.16()22100sin 2cos 2sin(60)(20)cos(60)0.67()22xy x yx o o x yo o x MPa MPa αασσσσσατασστατα+-=+--+--=+---⨯-=---=+=-+-⨯-=- (3) 求梁的主应力及主平面方位角：max min 1002215.62520.62()25.62x y MPa σσσσ+⎫-+=±=±⎬⎭⎧=-±=⎨-⎩故，MPa MPa 62.25,0,62.15321-===σσσ0022(20)tan 24100=-37.98x x yoτασσα-⨯-==-=---- （4）求最大剪应力)(62.20231max MPa =-=σστ(4)画点的主应力单元体如图（b ）所示。
9-3c 对图示应力单元体，试用解析法求解：（1）主应力与主方向，以及面内的剪应力极值；（2）在单元体上标出主平面、主应力和剪应力极值及其作用面。
解：(1)由题意知： 40,20,40x y x MP MP MPa σστ=-=-=-。
(2) 求梁的主应力及主平面方位角：max min 40202211.233041.23()71.23x y MPa σσσσ+⎫--=±=±⎬⎭⎧=-±=⎨-⎩故，12311.23,0,71.23MPa MPa σσσ===- 0022(40)tan 24-37.9840+20o x x y ταασσ-⨯-==-=-→=--（4）求最大剪应力13max 11.23+71.23=41.23()22MPa σστ-==-37.98457o o o s α=+=(4)画点的主应力单元体、剪应力极值及其作用面如图所示。
9-8 梁如图示，试求：（1）A 点处指定斜截面上的应力；（2）A 点处的主应力及主平面位置。
V kN)40-+M k N ·m)(c)题9-8140(d )++(d )(c)(b)M k N ·m)140题9-8+-40V kN)解：（1）根据对称性可知，两约束反力均为70kN,并绘出剪力和弯矩图如图示。
A 点在跨中稍左或稍右截面上，70140V M ==⋅中中kN ,kN m（2）求跨中稍左横截面上A 点的应力。
①查表得36a 工字钢的几何参数：4343360,136,15.8,10,15800cm ()42224436015.8360336015.813615.815.810464116.68mm 4.6410m2482z z h b t d I h t h t h h S bt t d *-=====⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=⋅-+-⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭-⨯⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-⨯⨯-==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭mm mm mm mm ②求跨中稍左横截面上A 点的应力33,81401036010Pa 79.7MPa 41580010A xA z M y I σ--⨯⨯=⋅=⨯=⨯ 纵向纤维间无挤压：,0A y σ=3,4,837010 4.6410Pa 20.56MPa 158********z AA xz VS I d τ*---⨯==⨯⨯=⋅⨯⨯⨯ （3）绘制A 点的应力单元体。
（4）求A 点600斜截面上的应力。
cos 2sin 22279.779.7cos(260)20.56sin(260) 2.12()2279.7sin 2cos 2sin(260)20.56cos(260)24.23()22x yx yx o o x y o o x MPa MPa αασσσσσατασστατα+-=+-=+⨯-⨯⨯=-=+=⨯+⨯⨯=（5）求梁A 点处的主应力及主平面位置。
max min 79.72284.6939.8544.84()4.99x y MPa σσσσ+⎫=±=±⎬⎭⎧=±=⎨-⎩故，12384.69,0, 4.99MPa MPa σσσ===- 002220.56tan 20.516-13.679.7o x x y ταασσ-⨯==-=-→=-9-9试求图示杆件A 点处的主应力。
题9-9z τ2π4π+-+60πM k N ·m)T kN)N kN)kN解：（1）外力分析：构件发生拉弯扭组合变形。
（2）内力分析：轴力图、扭矩图、弯矩图如图所示。
A 所在横截面的内力为：6042N T M πππ===⋅固固固kN,kN ,kN m（3）应力分析：A 点在上边缘点，无弯曲剪应力。
A 点所在横截面各点具有均匀分布的轴力引起的拉的正应力N σ，A 点在上下弯的拉伸区的边缘点W σ，该点正应力33,236010210=Pa=88MPa 0.10.1432A x N W zN M AW ππσσσππ⨯⨯=+=++⨯⨯固固 ,0A z σ=同时，该点还有扭转剪应力3,3410=Pa=64MPa 0.116A x tT W πτπ⨯=⨯固。
应力单元体如图所示。
（4）求梁A 点处的主应力及主平面位置。
max min 8822121.674477.67()33.67x z MPa σσσσ⎫+=±=±⎬⎭⎧=±=⎨-⎩故，123121.67,0,33.67MPa MPa σσσ===- 002264tan 2 1.4546-27.788o x x z ταασσ-⨯==-=-→=-9-5 试用图解法求解题9-3d7°7°解：（1）由图可知：20,30,20x y xMP MP MPaσστ=-==-。
故：x、y面所对应的点分别为T（-20，-20），T‘（30，20）（2）定比例尺，建立坐标系σ-τ（3）先在建立坐标系内作出x、y面所对应的点，连接该两点与σ坐标轴交于C点。
再以C点为圆心，T T‘为直径作出应力圆如图所示。
（4）过T点作水平线与应力圆交于P点，以P点为极点建立极坐标Px。
（5）连接P和应力圆最右点A、最左点A‘，分别得13σσ、的大小和方向，=-19.33αo。
（6）连接P和应力圆最上点B、最下点B‘，分别得max minττ、的大小和方向，=25.67sαo。
(7)画点的主应力单元体、剪应力极值及其作用面如图所示。
9-11a 求图示单元体的主应力。
解：（1）由单元体可知：z面为主面60MPazσ=（2）建立应力坐标系如图，画应力圆如图,则:123110MPa,60,10MPa σσσ===，主应力单元体如图所示。
9-13：图示薄壁圆筒受拉伸和扭转同时作用。
若T 20kN,600kN m P M ==⋅，且50mm,2mm d δ==。
试求：（1）A 点指定截面的应力；（2）A 点主应力及其方位角，并绘制主应力单元体。
解：(1)由题意知：如图（a ）构件发生拉扭组合变形，构件横截面上既有拉伸引起的正应力，又有扭转引起的剪应力.。
其原始单元体如图（c ）、(d)所示：(b)(d)题9-13图[]MPaPa d W M MPaPa AP d d Tx x 24.73])(1[)2(1660021.6105.0)002.0205.0(41020423223-=-+⨯-=-==-⨯+⨯==+δδπτπσ (2)求A 点指定-60O 斜截面上的应力。