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900xy
x
即单元体两个相互垂直面上
的正应力之和是一个常数
-900
yx
xy y
即又一次证明了切应力的互等定理
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二 主平面、主应力与主应力方向 1 切应力为零的面为主平面?? 2 主应力
主平面上的正应力 ??
主应力是一点应力状态的最终度量
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三 面内最大切应力
不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变 化，因而切应力亦存在极值
x- 2ysin2 xcy os2
对α求一次导数，并令其等于零；
d d (x- y)co - s2 2 xsyi n 0 2
由此得出另一特征角，用α1表示
30MPa
-17.32M Pa
x- 2ysin2xycos2
30o10 230sin60o20cos60o27.32M Pa
思考 900 ？ 900 ？？
x
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yx
用 斜截面截取，此截面上的应力为
y
xy
2
- x 2 xy - - yx- 2 sy i2 c no 2 - s xx y cs yo2 i2 n s
反之为负
yx
方向角的正负号规定
由 x正向转到截面外法线
逆时针 为正 反之为负
注意：方向角的定义
y 外法线
n
x
以及正负号规定
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问题 已知原始单元体互相垂直面上的应力
y
y yx
x
xy x
x
求任意斜截面上的应力 （斜截面的 位y 置？？）
解决问题的方法 平衡 的思想
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2、单元体的局部平衡
y
y yx
n+
x
xy
x
x
x
xy
y
yx
y
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2、单元体的局部平衡
Fn 0
????
x
n
x y dA
yx
t
y
dA
+
0
-
x
(dA cos) cos
xy(dAcos) sin
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2 求正应力的极值面
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
上式对α 求一次导数，并令其等于零
d d - (x- y)si n - 2 2 xc y o s02
表解明出∶的正角应度力的极ta值n2面＝ 与主－平x2-τ面xy重y 合角；度taαn与2α0＝ 0 完全－重x2合-τx。y y
3、平面应力状态任意方向面上的正应力
与切应力
x 2yx- 2yco- s2 xsyi n2
x- 2ysin2 xcy osy 2
y yx
x
xy x
x
y
例题1求斜面ab上的正应力和切应力
y
解：x 1 0 M P a, y - 3 0 M P a
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20MPa
0x- 2ysi n 0 2 xc y o 0s2 0
tan20＝
－2τxy
x -y
0 090O
该式确定了两个相互垂直的主平面的位置
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对于平面应力状态， 平行于xy坐标面的平 面，其上既没有正应 力，也没有切应力作 用，前后面是一个主 平面。
σ
σ 0
σ
这一主平面上的主应力等于零
正应力的极值就是主应力；
3 平面应力状态的三个主应力
tan20＝
－2τxy
x -y
x 2yx- 2yco 0 s- 2 xs yi n 0 2
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max
min
xy
2
(x-y
2
)2
2 xy
''' 0
将三个主应力代数值由大到小顺序排列;
123 就是所谓的应力状态的不变性
- y (dAsin) sin yx (dAsin) cos 0
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平衡方程
Ft 0
x
n
x y dA
yx
t
y
dA
-x
(dAcos) sin
- xy
(dAcos) cos
yx (dAsin) sin y (dAsin) cos 0
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tan21＝x2-τxy y
tan21＝x2-τxy y
得到α 的极值
x- 2ysin12xc y os12
max
min
(x -y
2
)2 x2y
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特别指出：
上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言， 因而称为面内最大切应力与面内最小切应力
3 主应力方向 ------主平面的法线方向
要求 掌握主应力计算！！牢记公式，并进行 排序！
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二 主平面、主应力与主应力方向
x x 2 - 2 y y s ix n - 2 2 y c xcyo o - ss2 x 2syi n2
1 切应力为零的面为主平面
a
10MPa
3 0 0
30o
No x y 2 0 M P a , y x - 2 0 M P a , 30
x x 2 y x- 2 yco s2 - xysin2
Image
b
30
0
20MP3 a0 o 1 0 - 2 3 0 1 0 2 3 0 c o s6 0 o- 2 0 s in 6 0 o
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y
yx
x
xy
x
y
各量的含义 Байду номын сангаас) 左右面上的正应力 上下面上的正应力 2 ) 左 右 面 上 的 切 应力
1 方向角与应力分量的正负号规定
x' y'
正应力正负规定 拉应力为正压应力为负
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切应力正负号规定
xy
使微元或其局部顺时针方向转动为正；
自学§7-4 二向应力状态分析-图解法 自学提纲
一、 写出应力圆方程 并判断应力圆的圆心在那个轴上？
二、 应力圆的画法 1 定圆心 2 定半径 3 画圆
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三、 应力圆的应用 1 求主应力 2 面内最大切应力
四、 几种特殊应力状态的应力圆
(1)
1：单向拉伸应力状态的应力圆
2 ：纯剪切应力状态的应力圆
(1)
3：二向等拉应力状态的应力圆
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§7-3 二向应力状态分析？？---解析法
主应力（计算）、主平面（位置确 定！）
思路 ----分析任意斜截面上的应力 一 任意斜截面上的应力 要求： 1 掌握解决问题的思想 要求： 2 考研的同学理解记忆公式