8 应力状态与应变状态分析1、应力状态概念，2、平面应力状态下应力分析，3、主平面是切应力为零平面，主应力是作用于主平面上正应力。

（1）过一点总存在三对互相垂直主平面，相应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间相应关系可总结为“点面相应、转向相似、夹角两倍。

”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处原始单元体。

图8.1[解]（1）原始单元体规定其六个截面上应力应已知或可运用公式直接计算，因而应选用如下三对平面：A 点左右侧横截面，此对截面上应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行一对平面，其中靠前平面是自由表面，因此该对平面应力均为零。

再取A 点偏上和偏下一对与xz 平行平面。

截取出单元体如图8.1(d)所示。

(2)分析单元体各面上应力:A 点偏右横截面正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面应力为：zMy I σ=b I QS z z *=τ解题范例由切应力互等定律知,单元体上下面有切应力τ ；先后边面为自由表面，应力为零。

在单元体各面上画上应力，得到A 点单元体如图8.1(d)。

8.2 图8.2(a)所示单元体,试求（1）图示斜截面上应力;（2）主方向和主应力，画出主单元体;（3）主切应力作用平面位置及该平面上正应力，并画出该单元体。

[解]（1）求斜截面上正应力︒30－σ和切应力︒30－τ图8.2由公式MPa 5.64)60sin()60()60cos(21005021005030-=︒---︒---++-=︒-σMPa95.34)60cos()60()60sin(21005030=︒--+︒---=︒-τ（2）求主方向及主应力8.01005012022tan -=----=--=y x x σστα ︒-=66.382α︒=︒-=67.7033.1921αα最大主应力在第一象限中，相应角度为070.67α=︒，主应力大小为15010050100cos(270.67)(60)sin(270.67)121.0MPa 22σ=⨯︒--⨯︒=－＋－－＋由yx σσσσαα+＝＋21可解出21(50)100(121.0)71.0MPax y ασσσσ=+=-+-=-－因有一种为零主应力，因而)33.19(MPa0.7133︒--＝第三主方向＝ασ画出主单元体如图8.2(b)。

（3）主切应力作用面法线方向25.1120100502tan =---='α ︒='34.512α︒='︒='67.11567.2521αα主切应力为'2'1MPa 04.96)34.51cos()60()34.51sin(210050ααττ-=-=︒-+︒--=此两截面上正应力为MPa 0.25)34.51sin()60()34.51cos(2100502100501=︒--︒--++-='ασMPa 0.25)34.231sin()60()34.231cos(2100502100502=︒--︒--++-='ασ主切应力单元体如图8.2（c ）所示。

由yx MPa σσσσαα+==+=+''500.250.2521，可以验证上述成果对的性。

8.3 试用图形解析法，重解例8.2。

[解] （1）画应力圆建立比例尺，画坐标轴τσ、。

对图8.2(a)所示单元体，在τσ-平面上画出代表x x τσ、点A(-50,-60)和代表yy τσ、点B(100,60)。

连接A 、B ，与水平轴σ交于C 点，以C 点为圆心，CB （或CA ）为半径，作应力圆如图8.3所示.图8.3(2) 斜截面上应力在应力圆上自A 点顺时针转过︒60，到达G 点。

G 点在τσ、坐标系内坐标即为该斜截面上应力，从应力圆上可直接用比例尺测量或计算得到G 点水平和垂直坐标值：64.5ασ=-MPaτα=34.95MPa(3)主方向、主应力及主单元体图8.3所示应力圆图上H 点横坐标OH 为第一主应力，即1121.04MPa OH σ==K 点横坐标OK 为第三主应力，即371.04MPa OK σ==-由应力圆图上可以看出，由B 点顺时针转过02α为第一主方向，在单元体上则为由y轴顺时针转0α，且00238.66,19.33αα=︒=︒应力圆图上由A 顺时针转到K 点(︒=∠66.38ACK )，则在单元体上由x 轴顺时针转过︒33.19为第三主方向,画出主单元体仍如图8.2(b)所示。

（4）主切应力作用面位置及其上应力图8.3所示应力圆上N 、P 点分别表达主切应力作用面相对方位及其上应力。

在应力圆上由B 到N ，逆时针转过︒34.51，单元体上max τ作用面外法线方向为由y轴逆时针转过︒67.25，且MPa 04.96min max==-=CB ττmin max ττ和作用面上正应力均为25MPa,主切应力作用面单元体仍如图8.2(c)所示。

8.4 如图8.4所示两端封闭薄壁筒同步承受内压强p 和外力矩m 作用。

在圆筒表面a 点用应变仪测出与x 轴分别成正负45︒方向两个微小线段ab 和ac 应变ε45︒＝629.4×10–6，ε–45︒＝－66.9×10–6，试求压强P 和外力矩m 。

已知薄壁筒平均直径d ＝200mm ，厚度t ＝10mm ， E ＝200GPa ，泊松比μ＝0.25。

图8.4[解] （1）a 点为平面应力状态,在a 点取出如图8.4(c)所示原始单元体，其上应力：22,,42x y x pd pd mt t d t σστπ===-（2）求图8.4(c)斜单元体efgh 各面上正应力：24524532283228x yx x y x pd mt d t pd m t d t σσστπσσστπ-+=-=++=+=-（3）运用胡克定律，列出应变ε45︒、ε–45︒表达式()()()()()()2454545245454511321181132118pd m E E t d t pd m E E t d t εσμσμμπεσμσμμπ---⎡⎤=-=-++⎢⎥⎣⎦⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦＝-将给定数据代入上式6 63213200210629.4100.75 1.252001081020010p mπ-⎛⎫⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯⎪⨯⨯⨯⎝⎭66321320021066.9100.75 1.252001081020010p mπ-⎛⎫⨯⨯-⨯=⨯⨯-⨯⎪⨯⨯⨯⎝⎭得内压强和外力矩p＝10MPa， m＝35kNm8.5矩形截面简支梁如图8.5所示，已知梁横截面面积为A，截面惯性矩为I，材料弹性模量为E，泊松比为μ,梁外表面中性层上A点45°方向线应变为ε450。

请选取荷载F.图 8.5(A)AEμε-︒145（B）AE145-︒με(C)AE)1(4945με-︒（D）AE)1(9445με-︒答案:(A)8.1单元体最大正应力面上切应力恒等于零吗?[解]对的。

由于在主平面上正应力σ1是单元体内各截面上正应力极值（可觉得最大值），而主平面上切应力为零。

8.2 单元体最大切应力面上正应力恒等于零,对吗?[解] 不对的。

三向应力状态下单元体有3个主应力，而最大切应力由31σσ决定，即：231maxσστ-=习题解析8.3 若一单元体中两个面上切应力数值相等 ，符号相反 ，则该两平面必然互相垂直 ，这种说法对吗?[解] 对的。

由切应力双生互等定理知,若切应力数值上21ττ=，符号相反时，该两平面必然互相垂直。

图 8.68.4 直径 d=20mm 、L=2m 圆截面杆,受力如图 8.7 。

试绘杆件中 A 点和 B 点单元体受力图,算出单元体上应力数值,并拟定这些点与否为危险点。

[解] 如下图8.8为图8.7各单元体受力图：1τ2τ1τ2τxσσyσyσ（c ） 图 8.7(a) （b ） （d ）图 8.8 应力计算: 图（a ）A 点 ：a N63.69MP A σ==-图（b ）A 点：a38050.96MP d 16τ==π 图（c ）A 点：a N127.38MP A σ==B 点：aN127.38MP A σ== ，a 38050.96MP d 16τ==π点A 点A 点A )(a )(c )(b 点B )(d 点B τττ图（d ）中A 点(压应力):3a33z M 201025.48MP1W 3.14(2010)32-⨯σ===⨯⨯⨯ B 点：*z az QS 4Q 0.17MP I b 3A τ===(b ）中A 为危险点，（c ）中A 、B 为危险点，（d ）中A ，B 点均为危险点,相比之下A 点应力较大。

8.5 已知应力状态如图 8.9 所示(应力单位:MPa)。

试用图解法求: (1)(a)、(b)中指定斜截面上应力;并用解析法校核之;(2) (c)、(d) 、(e)上主应力大小与方向,在单元体上画出主平面位置 ,求最大切应力。

(a)300斜截面单元本;(b)450斜截面单元体;(c) 纯切应力单元体;(d) 压拉切单元体 (e) 拉压切单元体。

图 8.9[解](a) 按比例画出应力圆如下图,可得α=300斜截面正应力和切应力为E 点坐标为30a45MP ︒σ=30a8.5MP ︒τ=解析法校核：x y x yx ax y x a30505030cos 2sin 2cos6045MP 222250303sin 2cos 2538.5MP 222αασ+σσ-σ+-σ=+α-τα=+=σ-σ-τ=α+τα=⋅== (b) 用比例画出应力圆,E 点坐标为45a5MP ︒σ=45a25MP ︒τ=解析法校核：x y x yx a x yx a 5050cos 2sin 2cos 9020sin 905MP 222250sin 2cos 2sin 9025MP 22αασ+σσ-σσ=+α-τα=+-=σ-στ=α+τα=⋅=(c ）应力圆如下图,与σ轴交点即为主应力相应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：σCEXO τY2α11a 232aOA 50MP ,0,OA50MP σ==σ=σ==-主平面方位可由应力圆上量得,因112D OA 90ϕ=∠=-最大主应力作用面与x 平面之夹角为(从D1到A1是顺时针转):45ϕ=-13max a50MP 2σ-στ==最大切力；(d ）应力圆与σ轴交点即为主应力得应点，从应力图上可按比例直接量得两个主应力之值分别为：11a22a 3OA 70MP OA 30MP ,0σ==σ==σ= 最大主应力作用面与x 平面之夹角为(可由应力圆上得):12FCA 9045ϕ=∠=-ϕ=-max aCF 20MP τ==最大切力(e ）应力圆与σ轴交点即为主应力相应点，从应力圆上可按比例直接量得两个主应力之值分别为11a 32aOA 44.7MP OA 44.7MP σ==σ==-主平面方位，可由应力圆上量得：226.513.2ϕ=-ϕ=-（相应于主应力σ1所在主平面）max a40MP τ=最大切力8.6 图 8.10 示单元体 ( 单位为 MPa)，问分别属于什么应力状态。