圆锥曲线离心率的求法
学习目标
1、 掌握求解椭圆、双曲线离心率及其取值范围的几类方法；
2、 培养学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力；
学习重难点
重点：椭圆、双曲线离心率的求法；
难点：通过回归定义，结合几何图形，建立目标函数以及观察图形、设参数、转化等途径确 定离心率
教学过程：
复习回顾：圆锥曲线离心率的概念 一、求离心率
探究一：利用定义直接求a ,c
例1.已知椭圆E 的短轴长为6，焦点F 到长轴的一个端点的距离等于 率等于 _____________________________ .
练习1:在正三角形 ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则以B 、C 为焦点，且过 D 、
B.
探究二：构造关于e 的(a,b,c 的齐次)方程
2 2
例2.已知椭圆 打 X
2
1(a b 0)的上焦点为F ，左、右顶点分别为B,B 2，下顶点为A , a b
uuu uuuu
直线AB 2与直线B 1F 交于点P ，若AP 2AB 2，则椭圆的离心率为 __________________
直线交双曲线右支于 M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为
A. . 6 C. 2
探究三：以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，设而不求确定 e 的方程
9,则椭圆E 的离心
E 的双曲线的离心率为
A.
B. ,3 — 1
C. 2 + 1
()
D. . 3 + 1
练习2、双曲线 羊一y 2=
1(a>0， b>0)的左、右焦点分别是
F 1、F 2,过F 1作倾斜角为30 °的
B. 3 .3
二、求离心率的范围(构造不等式或函数关系式求离心率的范围)
1、直接根据题意建立a,c不等关系求解.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2
X
例4、已知双曲线2
a
2
爲1 ( a 0,b 0 )的半焦距为c,若
b2
b24ac 0 ,
则双曲线的离心率范围是( )
A. 1 e 2 ..5 B 2 e 2 . 5 C. 2 ,5 e 2、5D. - e 2
2
2、借助平面几何关系建立a,c不等关系求解
2 2
X y
例5、设％F2分别是椭圆—2 1 ( a b 0)的左、右焦点，若在直线x
a b
线段PF i的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是
(0,
3、利用圆锥曲线相关性质建立a,c不等关系求解.
X2 V2
例6、已知双曲线x2-y2= 1(a>0, b>0) , F1是左焦点，O为坐标原点，若双曲线上存在点P,使|PO|
a b
=|PF1|,则此双曲线的离心率的取值范围是()
A. (1,2]
B. (1 ,+s )
C. (1,3)
D. [2 ,+^ )
2
=—上存在P,使
c
4、运用数形结合建立a,c不等关系求解
2 2
小结：求离心率的关键是列出一个与 a,b,c,e 有关的等式或不等关系
的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
5、运用函数思想求解离心率
2 2
例8、设a 1，则双曲线 笃 y 2 1的离心率e 的取值范围是
a (a 1)
2 2
□ x y 设A 1、A 2为椭圆—2 2
a b
A 1、A 2的点P ，使得PO PA 2 0 ，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率 e 的取值范围
是
1 、
2 1 2
A 、(0,J
B 、(0, )
C 、L,1)
D 、( 2,1)
2 2 2 2
例7、已知双曲线写爲 a b
1(a 0,b
0)的右焦点为 F ,若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线
(A )(1,2]
( B )(1,2) (C) [2, ) (D )(2,)
A .(迈,2)
B. (V2,75)
C. (2,5)
D. (2, ,5)
练习3、
1(a b 0)
的左右顶点，若在椭圆上存在异于
求离心率的关键是列出一个与 a,b,c,e 有关的等式或不等关系•在此，要活用圆锥曲线的特
征三角形•常用方法：
1•利用曲线变量范围。

圆锥曲中变量的变化范围对离心率的影响是直接的 ，充分利用这一点，
可优化解题.
2•利用直线与曲线的位置关系。

根据题意找出直线与曲线相对的位置关系，列出相关元素的 不等式，可迅速解题.
3•利用点与曲线的位置关系。

根据某点在曲线的内部或外部，列出不等式，再求范围，是一 个重要的解题途径.
4•联立方程组。

如果有两曲线相交，将两个方程联立，解出交点，再利用范围，列出不等式 并求其解.
5•三角函数的有界性。

用三角知识建立等量关系，再利用三角函数的有界性，列出不等式易 解.
6•用根的判别式根据条件建立与a 、b 、c 相关的一元二次方程，再用根的判别式列出不等 式，可得简解
7•数形结合法：解析几何和平面几何都是研究图形性质的，只不过平面几何只限于研究直线 形和圆。

因此，在题设条件中有关圆、直线的问题，或题目中构造出直线形与圆，可以利用 平面几何的性质简化计算。

练习
2 2
1、如图，双曲线 X T 爲 1 (a,b 0)的两顶点为 A , A ，虚轴两端点为 Bi , B 2，两焦 a b 点为F i , F 2.若以AA 为直径的圆内切于菱形 F1BF 2B 2，切点分别为A, B, C, D .则双曲线 的离心率e __________________ ;
2 2
2、设F n F 2是双曲线C :令 占 1(a
0,b 0)的两个焦点,P 是C 上一点，若
a b
PF 1 PF 2 6a,且PF 1F 2的最小内角为30o ,则C 的离心率为 —
.
2
x
3、如图,F i,F2是椭圆C i: y21与双曲线C2的公共焦点,A,B分别是C i, C2在第二、
4
四象限的公共点.若四边形AF i BF2为矩形，则C2的离心率是
A. ,3
B.
4、设双曲线C:
x
2
2-y2= 1(a>0)与直线I: x+ y = 1相交于两个不同的点A, B. a
求双曲线C的离心率e的取值范围。