边界层内
流体力学
v << u
∂u ∂x << ∂u ∂y
普朗特边界层微分方程2
引入无量纲量
t ~1 t′ = l V∞
x x′ = ~ 1 l v ~ δ′ v′ = V∞
δ y y′ = ~ δ ′ = l l
p p′ = ~1 2 ρV∞
u u′ = ~1 V∞
∂u′ ∂v ′ + =0 ∂x ′ ∂y ′
流体力学
顺流平板层流边界层6
1 2 140 μ δ = x+C 2 13 ρV∞
边界条件
x = 0时， δ = 0
μ x δ = 4.641 ρV∞
ρ xV∞ 由 Re x = μ
流体力学
δ = 4.641
x Re x
顺流平板层流边界层7
μ x δ = 4.641 ρV∞ δ = 4.641
x Re x
∗ 0 ∞
U
δ =∫
*
∞ 0
u (1 − )dy U
δ*
μ=0 u=U
边界层内由粘性影响减少的流量＝理想流 体流过物面时表面向外移动 δ* 减少的流量
δ =∫
*
δ
0
u (1 − )dy U
流体力学
边界层内的厚度4
动量损失厚度
y dy y
u = u(y)
U
U
θ
μ≠0
μ=0 u=U
边界层内由于粘性的影响，动量流量比 理想流体流经该区域时有所减少
流体力学
8.3 边界层动量积分方程
对控制体的动量方程－近似计算方法
假设 定常不可压 二元边界层 物面曲率很小
B x y U A
C
δ
δ+ dδ
D x+ dx
x
CV所受外力之和＝净流出CV的动量流率
流体力学
边界层动量积分方程2
控制体在x方向所 受合力
dp Fx = −δ dx − τ w dx dx
δ′
2
1
1 δ ′2
∂v ′ ∂v ′ ∂v ′ ∂p′ 1 ⎛ ∂ 2v′ ∂ 2v′ ⎞ ⎜ + + u′ + v′ =− ⎜ ∂ x ′ 2 + ∂y ′ 2 ⎟ ⎟ ∂y ′ ∂y′ Re l ⎝ ∂t ′ ∂x ′ ⎠
δ′
流体力学
1× δ ′
δ ′×1
δ′
2
δ′
1 δ′
普朗特边界层微分方程4
1 p + ρU 2 = C 2
dU 1 dp − =U ρ dx dx
∂u ∂v + =0 ∂x ∂y ∂u ∂u ∂u ∂ 2u dU +u +v =U +ν 2 ∂t ∂x ∂y ∂y dx
曲率半径远大于边界层厚度时均适用
流体力学
边界层的主要特征
与物体特征长度比，边界层厚度很小 边界层沿流体流动方向逐渐增厚，其外 缘与流线不重合 边界层内沿壁面法线方向速度梯度很大 边界层内沿壁面法线方向各点压强相等 边界层内流动也有层流、紊流两种流态
y U A
pAC
C
α
δ δ+ dδ
p
B x
τw
p+ dp
D x+ dx x
控制体 x 方向动量的净流出率
d dx
流体力学
(∫
δ
0
d ρ u dy dx − U dx
2
)
(∫
δ
0
ρ udy dx
)
边界层动量积分方程3
边界层动量积分方程
d dx
(∫
δ
0
d ρ u dy − U dx
2
)
(∫
δ
0
dp ρ udy = −τ w − δ dx
流体力学
速度分布在边界上应满足的条件1
应用动量积分方程解边界层问题
τw dθ 1 dU ∗ + ( 2θ + δ ) = ρU 2 dx U dx
方程未知数 u , δ , τw , 需补充关系式 边界层速度分布 壁面摩擦应力
流体力学
速度分布在边界上应满足的条件2
速度分布满足的主要条件 无滑移边界条件
y = 0时，u = 0，v = 0
流体力学
8.4 顺流平板层流边界层
问题
均匀来流
V∞ = C p∞ = C
V∞ 前缘 δ(x) 层流 x y
粘性、不可压、定常、二元 层流边界层，板长为L
边界层厚度
流体力学
τw dθ 1 dU ∗ + ( 2θ + δ ) = ρU 2 dx U dx
顺流平板层流边界层2
边界层厚度
μ δ = 5.0 x ρV∞
CD = 1.328 Re L
平板阻力系数
流体力学
顺流平板层流边界层－例题1
例：矩形平板边长为a和b，若在静止流体中沿边 例：矩形平板边长为a和b，若在静止流体中沿边 a方向以Uaa拖动平板与沿边b方向以Ubb拖动平 a方向以U 拖动平板与沿边b方向以U 拖动平 板的阻力相等，求Uaa//Ubb，层流边界层。 板的阻力相等，求U U ，层流边界层。
流体力学
概述2
边界层的概念 边界层动量积分方程及其求解
顺流平板边界层的计算
曲壁边界层分离 绕流物体的升力和阻力
流体力学
8.1 边界层的概念
高 Re 数绕流，Re >> 1 数绕流，Re
近壁区 薄层
∂u 速度梯度 很大 ∂y
V∞ 前缘 δ(x) 边界层 x y 外部流动区
粘性影响不能忽略，有旋 外部流动
由 Da = Db
3 3 1.328 ρb U a aν = 1.328 ρa U b bν
Ua 3 a = Ub b
流体力学
顺流平板层流边界层－例题2
例：水流速度V∞，密度为 ρ ，动力粘性系数 μ， 例：水流速度V∞，密度为 ρ ，动力粘性系数 μ， 水流方向与三角形对称轴方向一致，设边界 水流方向与三角形对称轴方向一致，设边界 层为层流边界层，求平板两侧受到的阻力。 层为层流边界层，求平板两侧受到的阻力。
解：沿边 a 方向拖动
1 2 D = C D ρV∞ A × 2 2
Ua b a
其中： V∞ = U a A = ab
Re l =
流体力学
Uaa
ν
1.328 1.328 CD = = Uaa ν Re l
顺流平板层流边界层－例题1
1.328 2 3 Da = ρU a ab = 1.328 ρb U a aν Uaa ν
流体力学
∂v ′ ∂u′ =− ~1 ∂x ′ ∂y ′
普朗特边界层微分方程3
∂u′ ∂u′ ∂p′ ∂u′ 1 ⎛ ∂ 2 u′ ∂ 2 u′ ⎞ ⎜ + v′ =− + + u′ ⎜ ∂x ′ 2 + ∂y ′ 2 ⎟ ⎟ ∂x′ Re l ⎝ ∂t ′ ∂x ′ ∂y ′ ⎠ 1 1× 1 1 δ′× δ′
普朗特边界层微分方程
V∞ y 外部流动区 边界层 x δ(x)
∂u ∂v + =0 ∂ x ∂y ∂u ∂u ∂u 1 ∂p ∂ 2u +u +v =− +ν 2 ∂t ∂x ∂y ∂y ρ ∂x ∂p =0 ∂y
前缘
边界层内压强沿 y (垂直来流)方向保持不变
流体力学
普朗特边界层微分方程5
外部势流压强可由伯努利方程求得
y=0 u = 0, v = 0
τ = τw
边界层外界与势流衔接处条件
y=δ
流体力学
u=U
τ =0
∂u =0 ∂y
速度分布在边界上应满足的条件3
速度对 y 的各阶导数均为零
∂ nu =0 n ∂y
n = 1, 2, 3 L
由二元定常边界层 N-S 方程
∂u ∂u dU ∂ 2u u +v =U +ν 2 ∂x ∂y dx ∂y
从物面沿外法线到速度达到势流速度99% 处的距离 边界层厚度沿流动方向不断增大
流体力学
边界层内的厚度2
位移厚度
y dy y
u = u(y)
U
U
δ*
μ≠0
μ=0 u=U
边界层内由于粘性的影响，质量流量比 理想流体流经该区域时有所减少
流体力学
边界层内的厚度3
位移厚度 (排挤厚度)
ρUδ = ∫ ρ (U − u )dy
y = 0时，u = 0，v = 0
流体力学
∂2u U dU =− 2 ν dx ∂y
速度分布在边界上应满足的条件4
∂u ∂u dU ∂ 2u u +v =U +ν 2 ∂x ∂y dx ∂y
对 y 求导
∂u ⎛ ∂u ∂v ⎞ ∂ 2u ∂2u ∂ 3u ⎜ ∂x + ∂y ⎟ + u ∂x ∂y + v ∂y 2 = ν ∂y 3 ∂y ⎝ ⎠ ∂3u =0 3 ∂y
第八章 粘性不可压缩流体绕物体 的流动
内流
在固壁限定的空间内流动
管流、通道流
外流
流体从物体外部流过
飞机在大气中飞行，潜艇在水中航行
流体力学
概述1
粘性、不可压、定常、绕流
边界层的概念、动量积分方程、曲壁边界 层的分离，绕流物体的升、阻力
基础知识
不可压缩流体积分形式控制方程组， 园管紊流速度的幂次分布规律，雷诺 数，理想流体圆柱绕流，逆压梯度
a=0
前缘
δ(x)
层流 x
边界层与势流衔接处， y = δ 时，u = V∞
V∞ = bδ + cδ 2 + dδ 3