简答题1.简述两个随机变量X和Y之间分别满足独立、不相关、正交关系的条件，以及这三种关系之间的联系。

答:独立：F XY(x9y) = F x(x) F Y(y),或f XY(x9y) = f x(x)-f Y(y);不相关：加=o或cov(x,r)= o；正交：E[XY] = 0.若X和Y独立则一定不相关，若X和Y不相关则不一定独立; 若X 或Y的数学期望为0,则不相关与正交等价。

2.写出函数X(3)在①e确定t为变量、②t确定e为变量、③e和t都确定、④e和t都是变量四种情况下所代表的意义。

其中如S, s 为样本空间，t为时间参数。

答：①样本函数；②随机变量；③常数；④随机过程。

3.简述宽平稳随机过程与遍历性过程的关系。

答：平稳过程同时满足以下条件才为遍历性过程①均值具有遍历性②相关函数具有遍历性。

所以遍历过程一定是平稳过程，平稳过程不一定是遍历过程。

4.白噪声的功率谱密度和自相关函数各有何特点？一般白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？正态白噪声在任意两个不同时刻有何种关系？答：白噪声的功率谱密度是常数，自相关函数是一个在0处的冲激函数。

一般片噪声在任意两个不同时刻不相关，匸态白噪声在任意两个不同时刻独立。

5.若随机过程X⑴是平稳过程，则其功率谱密度Gx@)与自相关函数籤⑺有何关系？请写出关系式。

答:Gx(e)是心⑺的傅立叶变换，G x(CD)=[j x^e-^dT ,或2兀丄°°6?设线性系统的冲激响应为h(t),输入随机过程为X(t),系统输出为Y(t),各自的自相关函数分别为RX(tl,t2)和RY(tl,t2)。

说明二者之间的关系。

答:心(心2)=心(心2)*力(/】)*%2)?7.写出希尔伯特变换的时域形式％)和频域形式H(叽答:力(。

=丄，H(C6)= -j-sgn(C6).m&如果一个正态过程是平稳的，其一维概率密度和二维概率密度各有何特性？答：正态平稳过程的一维概率密度与时间无关，二维概率密度仅与时间间隔有关。

9.简述噪声等效通能带的定义及其等效原则。

答：我们把白噪声通过线性系统后的非均匀物理谱密度等效为在一定频带内均匀的物理谱密度，这个频带称为噪声等效通能带，记为◎罟黔等效原则是输出平均功率相等。

10. 随机过程的正态化两种方法:答：1、白噪声通过有限带宽线性系统，输出正态分布;2、宽带随机信号通过窄带线性系统，输出近似正态;11.窄带实信号x(t)相应的复信号表示为X(0 = x(0 + jx(t),说明X (t)与x(t)在频域上的关系。

答:§S) = SS)?[l + sgn(创』2S中),^>0 12?简述白噪声的定义，并写出其自相关函数。

答：均值为0,功率谱密度在整个频率轴上为非零常数的平稳随机过程X(t)称为白噪声。

R x (r) = — J(r) G x (af)= — , -^ < co<13.简述维纳-辛钦定理。

G x(a))=「Rx("严di 答：维纳-辛钦定理：R x (T)=——r Gx (的严de 27T丄*14.简述功率谱密度函数的物理意义。

答：物理含义：随机过程X(t)在单位频带内消耗在1Q 电阻上的平均功率的统计平均。

15.简述希尔伯特变换的定义及物理意义。

答:定义：H[x(t)] = x(t)=丄 f ^^-clT 物理意义：时域：过丄的线性系统;m频域：90。

理想移相器;16.简述随机过程宽遍历的定义。

答：随机过程X(t)的均值和相关函数均具有遍历性。

17.已知随机过程X(t),其相关函数为心⑺二严J 问X(t)是否均方连续、均方可微，并说明之。

答：平稳随机过程X(t)均方连续的充要条件是：lim 心⑺=心(°）r->0平稳随机过程X(t)均方可微的充要条件是：_d*x (C =—R ，，(0)存在dr19.按照随机过程的状态和时间可将随机过程分为几类，并一一列举。

答：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。

20.平稳过程可分为哪两类，并简述二者之间的关系。

答：严平稳随机过程、宽平稳随机过程。

严平稳过程的统计特性不随时间的推移而变化。

严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程。

=兀(/)*——计算或证明题I.离散型随机变量X的分布律为X -1 1 2 3p 0.2 0. 1 0.4 0. 3 求随机变量Y=2X24-1的分布律。

解:Y 3 9 19P 0. 3 0.4 0.32.随机变量X的分布函数为0,兀W (—8 ,0]X玄,心0,4]求X的数学期望和方差。

解:X的概率密度函数为丄f(x) = 4 (0,4]0, else.,E[X]=^xf(x)dx=^xdx冷?士°?16 7 4D[X]=E[X2]-E2[X] = —-22=亍?3.利用重复抛币试验定义一个随机过程Jcos加,出现正面⑴=4,出现反面“出现正面”和“岀现反面”的概率各为l/2o(1)求X(/)的一维分布函数竹(X,*)和F x (兀,1)；(2)求X(r)的二维分布函数F x(x.,x2;|,l) o< 0 或*2 < -1 ,0 < Xj < 1, -1 < x 2 < 2=<%,1 < X,, -1 < x 2 < 2或0 < ^! < 1, 2 < x 21 ，^, > 1, x ? > 24.设随机振幅信号X(/)".sin 则，其中?是常数，随机变量V 的数学期望为0方羌为1,求该随机信号的数学期望、方羌、相关函数和协方差函数。

角军：E[X(0] = E\V ? sin^] = E[V]-sina )Q t = 0,R x (r |9r 2) = E[X(t {)X(r 2)] = E\V 2-sinco^t^ sin690r 2] = E\V 2] sinco 0t^ sin690r 2={D[V] + E [V]} sin?/】sin?/? - sin6^^ sin a )^t 2Kx (A ，2)=Rx (，i ，(2)—E[X(/] )]E[X((2)] = sin ?斤sin 690z 2，D[X(t)] = K x (t,t) = sin 2 a )o t.5.一正态随机过程的均值m x (t) = 2，协方差K (f],/2)= 8cos 〃(f]-心)，写出当厶=0、(2=%时的二维概率密度。

6.某随机过程由下述三个样本函数组成，且等概率发生X(") = l, X(t,e 2) = sint, X(t,e 3) = cost0 , x < —11, x > 2—1 5 兀v 2 , S[；X (l)<x 2解：°　~ K (/,/) = 8, K (0,*) = 0(x - inf K~l(x - m) = (x, - 2x }-28X2~2⑴计算数学期望加x(0和口相关函数Rx(E；(2)该随机过程是否平稳?解：(l)m x (t) = -(l + sinr + cos/)R x (z15r2) = -[l 4-sinr, sinr2 +cos/】cos^2] = —[l + cos(^ _&)]，(2)因数学期望与时间有关，故为非平稳随机过程。

7.已知RC电路的频率响应为H(e),输入过程N⑴为口噪声，其相关函数为心⑺二牛址)，求输出过程丫⑴的功率谱密度Gg。

解:心⑺与旳㈠G&) =导，???G血上6&).|/7(6<=牛片(测?8.若A(t)、B(t)相互独立，均为平稳随机过程，且二者均值均为零、自相关函数相等,又有X(r) = A(r)?cosr, Y(t) = B⑴?siw。

试证明随机过程Z(r) = X⑴+ W)是宽平稳过程。

HE： E[(t)]=E[X(t)+Y(t)]=E[A(t)cost+B(t)sint]=0+0=0R z(r,r + r) = E[Z(t)Z(t + r)] = E[( A(t)cost+B(t)sint)( A(/ + r)cos (r + r) +B(/ + r)sin(r + r))] =E[A(t)A(t + r) cos t cos(/ + r) + + r) cos t sin(r + r) +B ⑴ B(j + r) sin t sin(r + r) + + r) sin t cos(/ + r)] = R z (r)E[Z2(r)] = /?z(0)<oo故过程为宽平稳过程。

9.随机过程X(/) = a.cos(G/ + O)，其中a、3为常数，?)为均匀分布于(0」)之间的随机变量，BP：O<0<7Velse(1)求随机过程X(/)的自相关函数；(2)判断随机过程x⑴是否是平稳过程。

解:(1) R x (/j, r2)=E[X(/j )X(r2)]=E[a2? cos^az, +0) cos((tz2 4-0)]=一?/ ?E{COS 做/| +/2）+ 20] + COS 阪/厂&）]}1 ? r 1 1 7 =_ ? cr ? I _cos^y （f| +rJ+2&M0—cr ? cos[6J （Z|—f 2）] 2 4 兀‘ 2 （2）m x （/） = d ? E[cos （/tr + 0）] = a ?『一cos （血 + &）d& ?b 兀=—sin （ar+ ^）r =—— sin^f, 与t 有关7171???X ⑴不是平稳过程。

10?已知平稳随机过程的自相关函数/?(T )=-(1+COS6^T ),求其功率谱密2度。

解：根据维纳-辛钦定理，有G (69)= F7*?⑺]=一[2 感◎　+ 阳69-?) + 兀沃0)七?)]=刃5(劲+-5((0-兔)+ 丄3((0+山)]11 ?设随机过程X(t)的自相关函数为Rx (E ，又有随机过程Y(t)为X(t)的导数过程，即:dt求X(t)和Y(t)的互相关函数隔(也)和Y(t)的自相关函数他(也)。

12?已知一个平稳随机过程输入到低通滤波器，如下图。

x(/)的自相关函数/?x(也)》(心)皿),求输岀的自相关函数恥)。

解:R XY （/,,t 2） = E[X （G “２）] = E[x X 亿 + 弓zig 〕卜2宀A/2=恤日细绝如沁辿]=讪磁（也+弘）-磁（也）=2心（也）U Ar. U Ar. 弘x 1 2&2T0 A/2R Y 4，S ） = E[Y （t }）Y （t 2）] = E[l.i.m. 乂（八+（）_*仏）y （G ）]8 TO AT ）=lim E[X"+G ）y （f2）_X （M2）] = lim 心『（人+0』2）—心y （W2）= ±（Zj 仏）MTO Ar. % A/2M T0 - & ]d °2靳劭（也）=丽严（也）?X(t)解：Rx C)=灾)O Gx(G )= 11%)= 严 =—i — = —^—(a= —1| R 1 + jajRC a+ jco { RCjX13.已知某RC 电路的冲激响应为h ⑴=2严u ⑴,输入平稳过程X(r) 的自相关函数为Rx ⑺=厂叫求输出过程W)的自相关函数心⑺ 和平均功率回。