t0
sin mt sin nt d t
0 T 2
, ,
mn mn
0
Sin 0=0 不包含在 三角函数
集中!
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
三角函数集是一种完备正交函数集
周期函数f (t)(连续函数，可能为实数或复数，周期为T )
信号的分量和信号的分解
完备---有两层意思：
1.如果 (t) 在区间内与i (t) 正交，则 (t) 必属
于这个正交集。
2.若 (t) 与 i (t)正交，但i (t) 中不包含 (t) ，
则此集不完备。
f (t) C (t) ii i 1
即：
函数f(t)在区间(t1,t2)内可展开成完备正交函数空间中的无穷级数。
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f (t)
9%
t
0
n 1 n3 n9
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
吉伯斯现象产生原因
时间信号的跳变破坏了信号的收敛性，使得在
间断点处傅里叶级数出现非一致收敛。
1 .2
1
0 .8
N=5 0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 .2
-2
-1 .5
-1
-0 .5
n an
bn
An
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An
a2 n
bn2
, n 1, 2,
an An cosn，0 0 bn An sinn，b0 0
n
14
arctan
bn an
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
例：将下图所示方波信号 f(t) 展开为傅里叶级数
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
正交信号空间
设n个函数 1(t),2(t), n (t) 构成一函数集，如在区间 (t1, t2 )
内满足下列特性：
t2 t1
i
(t)
j
(t)dt
0
(i j)
t2 t1
i2
(t
)dt
Ki
——常数
nt ,t
(t0 ,t
0 T )
a0 直流分量 2
a1
cos
t
b 1
sin
t
称为基波分量
an cos nt bn sin nt 称为n次谐波分量 ,n 1
f (t)和 a0 an cos nt bn sin nt 的周期均为T
2
n 1
所以，在其它区间内，它们也相等。
f (t)= a0 an cos nt bn sin nt , t (, )
信号的分量和信号的分解
均方误差
2 (t) 1
t2 t1
t2 t1
[
f
(t )
n
Cii (t)]2 dt
r 1
1( t2 t1
t2 t1
f 2 (t)dt
n
C
2 j
K
j
)
j 1
在使近似式的均方误差最小条件下，可求得
Ci
t2 t1
f (t)i (t) d t
t2 t1
i
2
(t
)
d
f (t) cos nt d t
T
T
2 f (t) cos nt d t
0
b 2 nT
T
2 T
f (t) sin nt d t
2
0
An
a2 n
bn2
an
n
arctan
bn an
m
，m为整数
偶函数信号的傅里叶级数展开式中只含有直流 项与余弦项。
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
解：a 2 nT
T
2 T
f (t) cos ntdt
2
2
T
0 T
2
(1)
cos
nt
d
t
2 T
T
2 (1) cos nt d t
0
2 T
1 sin nt
n
0 T / 2
2 T
1 sin nt
n
T /2 0
0
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
信号的分量和信号的分解
完备正交函数集 （定义2）
如果在正交函数集 (t), (t),
不存在函数 (t )， 1
2
t2
满足等式
t1
(t) (t)dt i
0
则此函数集称为完备正交函数集。
其中
0
t2
t1
2 (t)dt
,n (t) 外,
i为任意整数
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
t
c1
A vx vx vx
Ci ——代表函数 f (t) 和 i (t) 间的相似程度或相关程度
若令 n 趋于无限大， 2(t)的极限等于零 lim 2 (t ) 0 n
则此正交函数集称为完备正交函数集。（定义1）
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析 4.1 信号分解为正交函数
信号的分量和信号的分解
复变函数的正交特性
如果在区间
(t1,
t 2
)
内，复变函数集
满足
i (t ) i 1,2,, n
t2
t1
i
(t
) i
(t
)dt
km
t2
t1
i
(t
)
j
(t
)dt
0
i j
则称 (t ) 为正交函数集。
2
1, cos t, cos 2t, cos nt , , T
特点：
sin t, sin 2t, sin nt, 均为周期信号
t0 T
t0
cos
mt
sin
nt
d
t
0
m, n为任意公整共数周期为T 2
0 , m n
t0 T
t0
cos
mt
cos
nt
d
t
T
2
,
mn0
T , m n 0
t 0T
f (t) 为偶谐函数(半波重叠信号)
f(t)
f (t)
f
t
T 2
t
T/2
T/2
a1 a3 a5 b1 b3 b5 0
偶谐信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量和直流分量，而无奇次谐波分量。
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
0
0 .5
1
1 .5
2
1 .2
N=50 1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
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-0 .2
1 .2
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
0
-0 .2
-2
-1 .5
-1
-0 .5
0
0 .5
1
1 .5
2
1 .2
1
0 .8
0 .6
0 .4
0 .2
200
-0 .2
N=15 N=500
第四章 傅里叶变换和系统频域分析
T 2
, t2
T 2
,
Kj
T 2
时，
本例中： 2
1 T
T
2 T
2
f 2 (t)dt
n j 1
cj2
T 2
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1
T
T
2 T
dt
2
n j 1
cj2
T 2
1
1 2
n
cj2
j 1
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第四章 傅里叶变换和系统频域分析
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
例所：示正，弦求交其流傅信里号叶级E数si展n(开形0t)式经。全波或半波整流后的波形分别如图
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
f (t) 为奇函数
2
a nT
T
2 T
f (t) cos nt d t
0
2 奇对称信号的傅里叶级数展开式中只含有正弦项。
2T
4T
b nT
2 T
2
f (t) sin nt d t
T
2 f (t) sin nt d t
0
An
a2 n
bn2
bn
4.2 傅里叶级数
周期信号展开为三角型傅里叶级数
所以，所示信号的傅里叶展开式为：
f
(t)
4
sin
t
1 3
sin
3t
1 5
sin
5t
1 sin nt n
思考：取多少次谐波才能有效表示这个信号？？？
均方误差为
2 1
t t
2
1
t2 t1