X
2．奇函数 f ( t ) f ( t )
1 a0 T
第 第
19 19 页 页

T 2 T 2
T 2 T 2
f (t ) d t = 0
f (t )

T
O 1
1 T

t
2 a n f ( t ) cosn 1t d t 0 T 4 T2 2 T bn f ( t ) sinn 1t d t 0 f ( t ) sinn 1t d t 0 T T 0
1 1 Fn F ( n 1 ) an jbn jbn 2 2
傅里叶级数中无余弦分 量，F (n1 )为虚函数。
X
第 第
3．奇谐函数
若波形沿时间轴平移半 个周期并相对于该轴上 下反转，此时波形并不 发生变化：
T f (t ) f t 2
j n1t
dt
也可写为 Fn
1 T1

T1
0
f ( t )e
j n1t
dt
周期信号可分解为指数 信号 e
j n 1 t
的线性组合。
X
四．两种系数之间的关系及频谱图
1 T1 j n1t 利用欧拉公式 F ( n1 ) f ( t )e dt T1 0 1 T1 1 T1 f ( t ) cosn1t d t j f ( t ) sinn1t d t T1 0 T1 0 1 an jbn 2 1 T1 1 T1 F ( n1 ) f ( t ) cosn1t d t j f ( t ) sinn1t d t T1 0 T1 0
X
第 第
P.104
3 3 页 页
f (t )
E 2
T
2E

T 4
O
T 4
T
t
1 1 f (t ) [cos(1t ) cos(31t ) cos(51t ) 3 5 2E 1 ( n 1 ) ( 1) cos[(2n 1)1t ] n 1 2n 1
将 f ( t ) 化为余弦形式 π f ( t ) 1 5 cos(1t 0.15 π) cos(21t ) 4
an 2
2
X
π f ( t ) 1 5 cos(1t 0.15 π) cos(21t ) 4
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 三角函数形式的频谱图
c0 cn cosn1t n
n 1

n 1
指数形式
f (t )
n
F ( n )
1

e
j n 1 t
1 F n1 T1

T1
0
f (t ) e
j n1t
dt
X
(2)两种频谱图的关系
●
第 第
16 16 页 页
三角函数形式： cn ~ ， n ~ 单边频谱
指数函数形式： Fn ~ ， n ~ 双边频谱 1 F ( n1 ) cn n 0 F0 c0 a0 关系 2 偶函数 ● 指数形式的幅度频谱为
F ( n 1 ) F ( n 1 )
●
相位频谱为奇函数 ( n 1 ) ( n 1 )
X
（3）周期信号的频谱是离散谱
3.2 周期信号的傅里叶级数分析
主要内容
•两种形式的傅氏级数
三角函数形式的傅氏级数 指数函数形式的傅氏级数 两种傅氏级数关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系
第 第 1 1 页 页
X
一．背景
J. Fourier
(1768-1830)
第 第 2 2 页 页
1807:
1822:发表“热的分 析理论”提出并证 明了将周期函数展 开为正弦级数的原 理，奠定了傅里叶 级数的理论基础。
X
第 第
五．函数的对称性与傅里叶级数的关系
1. 偶函数
f (t ) f ( t )
18 18 页 页
f (t )
E

O 1 1 F n F ( n 1 ) an jbn an 2 2
F ( n 1 )为实函数。

T T t
bn 0
n 0
傅里叶级数中不含正弦 项，只含直流项和余弦 项。
n
0.25 π
第 第
13 13 页 页
c0
1
c2
1
1
1
O
0 .15 π
O
指数形式的频谱图 F n 1
0.5
2 1
2 1

n
0.15 π
2 1
1.12
1
O
1.12
0 .5
2 1
0.25 π
2 1 1
1
1
1
O
0 .15 π
21
0.25 π
1. 复指数正交函数集 2. 级数形式 f ( t )
j n 1 t F ( n ) e 1
10 10 页 页
e
j n1t
n 0, 1, 2
3 - 10
( 3 11)
3. 系数 1 F ( n1 ) T1
n

t 0 T1
t0
f (t ) e
f (t )
20 20 页 页

T
O T 2

T
t
f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即
a0 0
n 2,4,6时 an bn 0
X
第 第
4．偶谐函数
T1 波形移动 与原波形 2 重合，称为偶谐函数。 T
T1 f t f t 2
f (t )
X
第 第
小结
（1）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 （2）两种频谱图的关系 （3）周期信号的频谱是离散谱 （4）引入负频率
14 14 页 页
X
第 第
(1)傅里叶级数的两种形式
三角形式
15 15 页 页
f ( t ) a0 an cosn 1t bn sinn 1t
解： 由 f ( t ) 的表达式可知
2 1 2 1
π 已知 f ( t ) 1 sin 1t 2 cos 1t cos(21t )， 4 试画出其幅度谱和相位谱。
a0 1, a1 2, b1 1
c1 a b 5 2.24 1 bn 1 tan 1 , 1 arctan( ) 0.15 ,
( 3 2)
( 3 3)
( 3 4)
X
第 第
3. 其他形式
7 7 页 页
f ( t ) a0 an cosn1t bn sinn1t
余弦形式
n 1


(3 - 5) n 1 b n 2 2 c0 a0 , cn an bn , n arctan a n an cn cos n bn cn sin n
周期信号可分解为直流 ，基波（ 1 ）和各次谐波 （n 1 : 基波角频率的整数倍） 的线性组合。
X
f ( t ) c0 cn cosn1t n
正弦形式 (见教材P.95)
第 第
4. 幅频特性和相频特性(频谱图)
8 8 页 页
cn ~ 关系曲线称为幅度频谱图； n ~ 关系曲线称为相位频谱图。
第 第
17 17 页 页
谐波性：（离散性）， 频率只出现在 nω1处
(4)引入负频率
对于双边频谱，负频率 ( n 1 ) ，只有数学意义，而无 物理意义。为什么引入负频率?
f t 是实函数，分解成虚指 数，必须有共轭对 e j n1 和e－j n1，才能保证 f ( t )的实函数的性质不变。
21 21 页 页


T1 O 2 T1 2
T1
1
t
2 1 T1
f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，只有偶次谐波 分量
n 1,3,5时
an bn 0
X
第 第
11 11 页 页
1 an j bn 2
F (n1 ), F ( n1 )是复数
F n1 F (n1 ) e j n
X
幅频特性和相频特性
幅频特性 相频特性
an bn
1 2 1 2 F ( n 1 ) a n bn c n 2 2 bn n arctan a n
n 1
3 - 1
称上式为三角形式的傅里叶级数 三角函数集
2.如何求系数?
X
f ( t ) a0 an cosn1t bn sinn1t
n 1

第 第 6 6 页 页
1 t0 T1 f (t ) d t 直流分量 a0 T1 t0 余弦分量的幅度 2 t0 T 1 an f ( t ) cosn1t d t T1 t0 正弦分量的幅度 2 t0 T1 bn f ( t ) sin n t dt 1 T 1 t0
第 第
12 12 页 页
关于的偶函数 (实际 n 取正值) 关于的奇函数 (实际 n 取正值) F ( n 1 ) F ( n 1 )
X
F ( n1 ) 关于的偶函数
n1 关于 的奇函数
例
三角函数形式的频谱图 c n c1
2.24
π f ( t ) 1 sin 1t 2 cos 1t cos 21t ， 4
X