bncnsinn
n arctanabnn
正弦形式 f(t)d0 dnsin n 1tn
d0 a0
n1
dn an2 bn2
n
arctan
an bn
andnsinn bndncosn
X
77
幅度频率特性和相位频率特性
第第 页页
周 期 信 号 可， 分基 解 波 为 1）（ 直 和流 各 次 谐 （n1:基 波 角 频 率的 线 整性 数组 倍合 ）。
P1 T f2(t)dt 1
T0
T
Fn1 2
0Tn F(n1)ejn12dt
Fn2 F0 a0
n
n
总平均功率=各次谐波的平均功率之和
X
2288
七．傅里叶有限级数与最小方均误差
第第
页页
fta 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t n 1
取前 (2N1)项来逼 f(t)近
1 2
an
jbn
anFnFn
F ( n 1 ) T 1 0 T f( t) cn o 1 td s t j T 1 0 T f( t) sn i1 n td t
1 2
an
jbn
bnj(FnFn)
F(n1),F(n1)是复数 F n 1F (n 1)ejn
X
1111
第第
幅频特性和相频特性 页页 幅频特性 F(n1)1 2 an 2bn 21 2cn
周期信号平均功率=直流、基波及各次谐波分量 有效值的平方和；
也就是说，时域和频域的能量是守恒的。 Fn 2 ~绘成的线状图形，表示 各次谐波的平均功率随 频率分布的情况，称为功率谱系数。
X
2277
第第
证明
页页
n 1 s t b nsin n 1 t
正弦分量的幅度 bnT 2tt00Tf(t)sin1tdt
X
55
例3-2-1
第第 页页
求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。
A f(t) t
T1 tT1
f t
1
a0
T1
T2T121TT1A1 t
2
dt 0
2
T1 2
A/2 T1 2
O
t
2
anT1 bnT21
T 2T 121T A 1tcons1t
N
S Na 0 a nco n s 1 tb nsin n 1 t
误差函数
n 1
方均误差
N tf(t) S N
EN
N2(t)T 11
t0T1 t0
N2(t)dt
E N N 2 (t)f2t a 0 2 1 2 n N 1a n 2 b n 2
X
2299
第第
狄利克雷（Dirichlet）条件 页页
平均功率
n 1
P T 10 T f2 ( t) d t T 10 T a 0 n 1a n cn o 1 ts b n sn in 1 t 2 d t
a02
1 2n1
an2
bn2
a0 21 2n 1cn 2a0 2n 1 12cn2
对于指数形式的傅里叶级数
若波形沿时间轴平移半个周
期并相对于该轴上下反转， 此时波形并不发生变化：
f (t)
f(t)ft T 2
T
OT T
t
2
f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即
a0 0 n 2 ,4 ,6 时a n b n 0
n 1 ,3 ,5 时a n T 40 T 2f(t)co n1 s td t
bnT 4 0T 2 f(t)sinn1tdt
0.15 π 2 1
0.25 π 1
21 1 O 1 21
1 O
2 1
0.25 π
0.15 π
X
1166
第第
三角形式与指数形式的频谱图对比 页页
三角函数形式的频谱图
c n c 1 2 .24
c0 1
c2 1
O 1 2 1
指数形式的频谱图
Fn1
0.5 1.12 1 1.12 0.5 21 1 O 1 21
T1
2 T1
2
A ts
T1
inn
1t
dt0
1
2π T1
dt A(1)n1
nπ
n1,2,3
周期锯齿波的傅里叶级数展开式为
ft0π Asi n 1t2 A πsi2n 1t
直流
基波
谐波
X
66
其他形式
第第 页页
余弦形式 f(t)c0 cnco n s1tn
2
n1
c0 a0
ancncosn
cn an2 bn2
11133
例3-2-2
第第
页页
已 请画f出(t知 )其 幅1 度s谱i 和1 n t相2 位c谱 o 。1 t sc o 2 s 1 tπ 4 ，
化为余弦f(t形) 式1 5co 1 ts 0 (.1π ) 5 c o 2 1 st π 4
三角函数形式的傅里叶级数的谱系数
三角函数形式的频谱图
第第
页页
1.三角函数集
cn o 1 ts ,sn i1 n t 是一个完备的正交函数集集
由积分可知
t在一个周期内，n=0,1,...
T
2Tcosn1tsinm1t0 2
T 2T 2cons1tcom s1t T 2 0,,
mn mn
T
2Ts 2
in1ts
im n1t T 2,
0,
mn mn
X
1199
第第
(2)两种频谱图的关系 页页
● 三角函数c形 n~式 ，： n~ 单边频谱
指数函数F 形 n ~式 ， ： n ~ 双边频谱
关系 F (n 1 )1 2 c n n 0
F 0 c 0 a 0
● 指 数 形 式 的 幅 度 偶频 函谱 数为
F(n1) F(n1) ● 相位频谱为奇函数
f (t)
1
anT 2T 2T 2 f(t)cons1tdt0T
O 1
T
t
bnT 20Tf(t)sin n1tdtT 40T2f(t)s in1tdt0
F nF (n 1)1 2anjbn1 2jbn
傅 里 叶 级 数 中 量无 ， F(n余 1)为 弦虚 分函 数 。
X
2244
第第
3．奇谐函数 页页
（44））引引入入负负频频率率
X
1188
第第
(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式 页页
三角形式 指数形式
f(t)a 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t n 1 = c 0 c n c n 1 t o n ) s n 1
f(t) F(n1) ejn1t n
相频特性 n arctanabnn
an bn
F(n1)
n1
关于 的偶函数（n实取际正值） 关于 的奇函数（n实取际正值） 关于 的偶函数 关于的奇函数
X
频谱图
幅度频谱 cn ~
或 Fn ~ 曲线
cn c1
c0
c3
O 1 3 1
n
相位频谱
n ~曲线
O 1 3 1
第第 页页
离散谱，谱线
X
1122
bn 0
T O
anT 40T 2f(t)cons1tdt0
FnF (n1)1 2anjbn1 2an n 0
T
t
傅里叶级数中不 项含 ，正 只弦 含直流项 项和 。
F(n1)为实函数。
X
2233
第第
2．奇函数 页页
波形相对于纵对 坐称 标的 f是 (t： )反 f(t)
1
a0
T
T
2 T
2
f(t)dt =0
•周期信号可 , 分 区解 间为 上的ej指 n1t 数
的线性组合。
•如给 F (n 1)出 ，ft则 惟一 (4)、 (确 5)式 定 是 ， 一
变换对。
X
1100
三．两种系数之间的关系及频谱图 第第 页页
F(n1)T 10Tf(t)ejn1tdt利用欧拉公式
T 10 T f(t)cn o1 ts d t jT 10 T f(t)sin n 1 td t
§3.2 周期信号傅里叶 级数分析
北京邮电大学电子工程学院 2008.10
22
主要内容
第第
页页
•三角函数形式的傅氏级数 • 指数函数形式的傅氏级数 •两种傅氏级数的关系 • 频谱图 •函数的对称性与傅里叶级数的关系 •周期信号的功率 •傅里叶有限级数与最小方均误差
X
33
一．三角函数形式的傅里叶级数
条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的 数目应是有限个。 条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有 限个。 条件3:在一周期内，信号绝对可积。
返回
X
3300
第第
证明
页页
对于三角函数形式的傅里叶级数
f(t)a 0 a nco n 1 s t b nsin n 1 t
整理 2
2
f( t) 1 1 2 1 j e j 1 t 1 2 1 j e j 1 t 1 2 e j π 4 e j 2 1 t 1 2 e j π 4 e j 2 1 t 2 F(n1)ejn1t
n2
指数形式的傅里叶级数的系数
F(0) 1 F1121j1.1e2j0.1π 5
4
bnT1
T1 2
0
f(t)sinn1tdt
X
2266
第第