L1 ( x) x xk 1 x xk yk yk 1 xk xk 1 xk 1 xk
特点：
基函数
l( k )
x xk 1 x xk , l( k 1) xk xk 1 xk 1 xk
L1 ( x) yk lk ( x) yk 1lk 1 ( x)
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y
x x x1 x y0 0 y1 x1 x0 x0 x1
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值
y x x x1 x y0 0 y1 x1 x0 x0 x1
(10.13 13.324) 103 (10.13 9.7981) 103 0.0848 0.0897 0.0853W / (m K ) 3 3 (9.7981 13.324) 10 (13.324 9.7981) 10
Nn ( x0 ) f ( x0 )
Nn ( x0 ) f ( x0 ) a0
a0 f ( x0 )
Nn ( x1 ) f ( x1 )
即 r ( xi ) 0 将有n+1个零点，由此可断定 r ( xi ) 0
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.1 概述
用 Pn ( x) 近似代替 f ( x) ，除了在插值节点没有误差外，在其 它点上一般是存在有误差的，记截断误差 插值余项
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
L1 ( xk ) yk L1 ( xk 1 ) yk 1
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2018/10/25
化工应用数学 第一章
（1）线性插值
y L1 ( x) 几何意义：用通过两点 ( xk , yk ) ( xk 1 , yk 1 ) 的直线来
近似表示 y f ( x) 。
y L1 ( x) 表达式可由两点公式给出
几何意义：用通过三点 ( xk 1, yk 1),( xk , yk ),( xk 1, yk 1)的抛物线来 近似表示函数 y f ( x) 。
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化工应用数学 第一章
（2）二次插值 和线性插值一样，可以采用插值基函数的方法构造 L2 ( x) 需满足以下两个条件： 基本多项式为二次多项式；
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化工应用数学 第一章
（2）二次插值 基函数
1 lk 1 ( x) ( x xk )( x xk 1 ) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) lk ( x) 1 ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 )
二阶差商
二阶差商是一阶差商的差商。
f [ x1 , x2 , , xk ] f [ x0 , x1 , , xk 1 ] f [ x0 , x1 , , xk ] xk x0
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k阶差商
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.3 差商与牛顿插值公式
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.2 拉格朗日插值
（1）线性插值
2 n P ( x ) a a x a x a x n 0 1 2 n
n 1
假定 y f ( x) 已知区间[ xk , xk 1 ] 端点值 yk f ( xk ), yk 1 f ( xk 1 ) 求线性插值多项式 L1 ( x ) 使满足条件
值的 n+1 个已知点上，建立 一条函数多项式曲线 Pn ( x) ， 使它严格通过这些已知函数点， 以此多项式曲线来近似原函数
曲线 f ( x) 。
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.1 概述
节点上 节点以外 插值函数的唯一性？
P n ( xi ) f ( xi )
用二次插值计算
sin 0.3367 L2 ( x) ( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y0 y1 y2 0.330374 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
( x x0 )( x x1 )( x x3 ) ( x x0 )( x x1 )( x x2 ) y2 y3 ( x2 x0 )( x2 x1 )( x2 x3 ) ( x3 x0 )( x3 x1 )( x3 x2 )

(372 360)(372 379)(372 413) (372 341)(372 379)(372 413) 0.0853 0.0774 (341 360)(341 379)(341 413) (360 341)(360 379)(360 413)
(372 341)(372 360)(372 413) (372 341)(372 360)(372 379) 0.0699 0.0618 (379 341)(379 360)(379 413) (413 341)(413 360)(413 379)
有 n+1 个互异点，节点
的函数值
，建立一个次数不超过n的代数多
项式。
P n ( x) a0 a1 x a2 x an x
2
n
使满足
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P n ( xi ) yi
(i 0,1, , n)
2
化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.1 概述
几何意义：在给定函数节点
解：由题意得
x0 0.32, y0 0.314567; x1 0.34, y1 0.333487; x2 0.36, y2 0.352274
用线性插值计算时，由线性插值可得
sin 0.3367 L1 ( x) y x x x1 x y0 0 y1 0.330365 x1 x0 x0 x1
n次多项式余项
f ( n 1) ( ) Rn ( x ) n 1 ( x ) ( n 1)!
n1 ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xn )
插值多项式的截断误差
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M n 1 Rn ( x) n 1 ( x) (n 1)!
其插值基函数可根据因式分解定理求出。
lk 1 ( xk ) 0, lk 1 ( xk 1 ) 0
l k 1 ( x k 1 ) 1
lk 1 ( x) A( x xk )( x xk 1 )
A
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1 ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
(i 0,1, , n)
Rn ( x) f ( x) Pn ( x)
y1 Pn ( x) 假设有两个这样的插值函数均满足插值条件，
y2 qn ( x) , 那么对于 r ( x) Pn ( x) qn ( x)
r ( xi ) 0
i 0,1, 2, , n
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法
1.1.3 差商与牛顿插值公式
（1）差 商
f [ x0 , xk ]
f ( xk ) f ( x0 ) xk x0
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法
1.1.3 差商与牛顿插值公式
（1）差 商
又引入符号
f [ x1 , x2 ] f [ x0 , x1 ] f [ x0 , x1 , x2 ] x2 x0
（2）差商的性质
f [ x0 , x1 , , xk ]
j 0 k
f (x j ) ( x j x0 ) ( x j x j 1 )( x j x j 1 ) ( x j xk )
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法 1.1.3 差商与牛顿插值公式
（2）差商的性质
导 数
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化工应用数学 第一章
1.1 插值法
1.1.3 差商与牛顿插值公式
（3）牛顿插值公式及其余项 引入差商的概念后，就可以用差商表示牛顿多项式的系数。
Nn ( xi ) f ( xi )
ai
Nn ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 )( x x1 ) an ( x x0 )( x x1 ) ( x xn1)
(n)
n次插值多项式可表示为
Ln ( x ) yk lk ( n ) ( x )
k 0
n
y0l0 ( x) y1l1 ( x) ynln ( x)
拉朗格朗日多项式
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值 例： 已知丙烷在如下温度、压力下的导热系数数据。
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化工应用数学 第一章
（3）n次插值
L3 ( x) ( x x1 )( x x2 )( x x3 ) ( x x0 )( x x2 )( x x3 ) y0 y1 ( x0 x1 )( x0 x2 )( x0 x3 ) ( x1 x0 )( x1 x2 )( x1 x3 )
化工应用数学 第一章
第一章 数据处理
1.1 插值法 1.2 数值微分 1.3 数值积分
*代数精度、复化求积公式 *线性最小二乘法 *拉格朗日插值法、牛顿插值法
1.4 最小二乘曲线拟合