互动探究 保持例题条件不变，证明：
a＋12＋
b＋12≤2.
证明：∵a>0，b>0，且 a＋b＝1，
∴ a＋12＋ b＋12
＝
a＋12×1＋
b＋12×1
≤a＋122＋1＋b＋122＋1＝a＋b2＋3＝42＝2.
当且仅当 a＋12＝1，b＋12＝1，即 a＝b＝12时等号成立．
∴当 y＝1，x＝2，z＝2 时，x＋2y－z 取最大值，最大值
为 2.
(3)由 a＋b＋c＝0 得，a＝－b－c， 则 a2＝(－b－c)2＝b2＋c2＋2bc≤b2＋c2＋b2＋c2＝2(b2 ＋c2)，
又 a2＋b2＋c2＝1，所以 3a2≤2，解得－
6 3 ≤a≤
36，
故 a 的最大值为
6 3.
(1)将该厂家 2019 年该产品的利润 y 万元表示为年促销 费用 t 万元的函数；
(2)该厂家 2019 年的年促销费用投入多少万元时，厂家 利润最大？
[自主解答] (1)由题意有 1＝4－k1， 得 k＝3，故 x＝4－2t＋3 1. 故 y＝1.5×6＋x12x×x－(6＋12x)－t＝3＋6x－t＝3＋ 64－2t＋3 1－t＝27－2t1＋8 1－t(t≥0)．
答案：9
3．已知函数 f(x)＝4x＋ax(x>0，a>0)在 x＝3 时取得最小值，则 a＝________.
解析：∵x>0，a>0，∴f(x)＝4x＋xa≥2
4x·xa＝4 a，
当且仅当 4x＝xa时等号成立，此时 a＝4x2，由已知 x＝3 时
函数取得最小值，所以 a＝4×9＝36.
答案：36
(2)如果和 x＋y 是定值 P，那么当且仅当 x＝y 时，
xy 有最大值是P42(简记：和定积最大)．
1．有人说：(1)函数 y＝x＋1x的最小值是 2； (2)f(x)＝cos x＋co4s x，x∈0，π2的最小值是 4； (3)当 a>0 时，a3＋a12的最小值是 2 a. 你认为这三种说法正确吗？为什么？
8x00×x8＝
20，当且仅当80x0＝x8，即 x＝80(x>0)时，等号成立．故每 批应生产产品 80 件，可使 f(x)最小．
答案：80
[例 1] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：1a＋1b＋a1b≥8.
[自主解答] 1a＋1b＋a1b＝21a＋1b， ∵a＋b＝1，a>0，b>0， ∴1a＋1b＝a＋a b＋a＋b b＝2＋ab＋ba≥2＋2＝4， ∴1a＋1b＋a1b≥8当且仅当a＝b＝12时等号成立.
1．要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体
容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造价
是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是 ( )
A．80 元
B．120 元
C．160 元
D．240 元
解析：选 C 设该容器的总造价为 y 元，长方体的底
面矩形的长为 x m，因为无盖长方体的容积为 4 m3，高
A．若 a∈R，则 a2＋9>6a
B．若 a，b∈R，则a＋b≥2 ab
C．若 a，b>0，则 2lga＋b≥lg a＋lg b 2
D．若
x
∈R
，则
x2＋ x
2＋1 1>1
解析：选 C ∵a>0，b>0，∴a＋2 b≥ ab. ∴2lga＋2 b≥2lg ab＝lg ab＝lg a＋lg b.
2．若 x>0，y>0，且 x＋y＝13，则 xy 的最大值为( )
[答案]
(1)D
(2)C
6 (3) 3
利用基本不等式求最值问题的常见类型及解题策略 (1)知和求积的最值．求解此类问题的关键：明确“和 为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件 ——正数；②验证等号成立． (2)知积求和的最值．明确“积为定值，和有最小值”， 直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最 值的条件． (3)构造不等式求最值．在求解含有两个变量的代数式 的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替 换，构造不等式求解．
答案：①③⑤
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用 为 800 元．若每批生产 x 件，则平均仓储时间为x8天，且 每件产品每天的仓储费用为 1 元，为使平均到每件产品 的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品 ________件．
解析：记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用
之和为 f(x)，则 f(x)＝800＋xx8×x×1＝80x0＋x8≥2
≥7＋
2
4 3，当且仅当4ab＝34a时取等号，选 D.
4ab·3ba＝7＋
(2)xzy＝x2－3xxyy＋4y2＝xy＋4xy，即 x＝2y 时等号成立．
此时 z＝x2－3xy＋4y2＝(2y)2－3·2y·y＋4y2＝2y2.
∴x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝－2(y－1)2＋2，
[自主解答] (1)因为 log4(3a＋4b)＝log2 ab， 所以 log4(3a＋4b)＝log4(ab)，即 3a＋4b＝ab， 且a3ba>＋04，b>0， 即 a>0，b>0，
所以4a＋3b＝1(a>0，b>0)，
a＋
b＝
(a
＋b)·4a＋3b
＝7＋
4b a
＋3ba
所以a12＋b12≥2
a12·b12＝a2b，
当且仅当a12＝b12，即 a＝b 时等号成立，
又因为a2b＋ab≥2
a2b·ab＝2 2，
当且仅当a2b＝ab 时等号成立， 所以a12＋b12＋ab≥a2b＋ab≥2 2，
当且仅当a12＝b12， a2b＝ab，
即 a＝b＝4 2时取等号．
1．已知 f(x)＝x＋1x－2(x<0)，则 f(x)有( )
A．最大值为 0
B．最小值为 0
C．最大值为－4
D．最小值为－4
解析：选 C ∵x<0，∴－x>0， ∴x＋1x－2＝－－x＋－1x－2≤ －2 －x·－1x－2＝－4， 当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时等号成立．
(2)由(1)知：y＝27－2t1＋8 1－t＝27.5－t＋9 12＋t＋12.
基本不等式t＋9 12＋t＋12≥2×
t＋9 12·t＋12＝6，
当且仅当t＋9 12＝t＋12，即 t＝2.5 时等号成立．
故
y
＝
27
－
18 2t＋1
－
t
＝
27.5
4．若 a>0，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满 足条件的 a，b 恒成立的是________(填写所有正确命题 的序号)．
①ab≤1；② a＋ b≤ 2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3； ⑤1a＋1b≥2.
解析：令 a＝b＝1，可排除命题②④；由 2＝a＋b≥2 ab， 得 ab≤1，故命题①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2， 故命题③正确；1a＋1b＝a＋abb＝a2b≥2，故命题⑤正确．
23 A. 3
B．2 3
1 C.9
1 D.36
解析：选 D ∵x>0，y>0，∴13＝x＋y≥2 即 xy≤16，∴xy≤316.
xy，
3．已知 x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则xyz2的(
)
A．最小值为 8
B．最大值为 8
C．最小值为18
D．最大值为18
解析：选 D xyz2＝x＋xz2z2＝x2＋4xxzz＋4z2＝xz＋4x1z＋4 ≤18.当且仅当xz＝4xz，即 x＝2z 时取等号．
提示：不正确．(1)中忽视了条件 x>0；(2)中 cos x∈(0,1)， 利用基本不等式求最值时，“＝”不能成立；(3)2 a不是定值．
2．x>0 且 y>0 是xy＋yx≥2 的充要条件吗？
提示：不是．当 x>0 且 y>0 时，xy＋yx≥2；但yx＋yx≥2 时，x，y 同号即可．
1．下列不等式中正确的是( )
2．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则 1＋1a 1＋1b 的最小值为________．
解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b＝2＋ba·2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12时，取等号．
3．算术平均数与几何平均数 设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为a＋2 b，几何平
均数为 ab，基本不等式可叙述为： 两个正实数的算术平
均数不小于它的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知 x>0，y>0，则
(1)如果积 xy 是定值 P，那么当且仅当 x＝y 时，x＋
y 有最小值是 2 P(简记：积定和最小)．
1．利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型 既有选择题、填空题，也有解答题．
2．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下几 个命题角度：
(1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)构造不等式求最值．
[例 2] (1)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a＋b 的最小
值是( )
利用基本不等式证明不等式的方法技巧 利用基本不等式证明不等式时，要充分利用基本不等 式及其变形，同时注意基本不等式成立的条件．对待证明 的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用 基本不等式进行证明．
设 a、b 均为正实数，求证：a12＋b12＋ab≥2 2.
证明：由于 a、b 均为正实数，
基本不等式
1．基本不等式
a＋b ab≤ 2
(1)基本不等式成立的条件： a>0，b>0 .