西 安 电 子 科 技 大 学
考试时间120分钟
试 题
1.考试形式：闭卷；2。

本试卷共 十道 大题，满分 100分。

一．判断下列级数是绝对收敛还是条件收敛（每题4分，共16分）
（1）1
2(1)2n n
n ∞
=+-∑ （2）1n ∞
=∑
（3）1cos 2n n n ∞
=∑ （4)1
ln (1)n
n n n ∞
=-∑
二．计算下列积分（每题4分，共16分）
（1）0
a
⎰
(2）22222
1
sin cos x dx a x b x
+⎰
（2）1
||x t dt -⎰ (4)20
ln(sin )x dx π
⎰
三．（本题10分)设函数f(x)在［0,1]上有界，且不连续点的集合仅有有限个聚点,证明f(x ）在［0，1]上可积.
四．（本题10分)求由拱线L ：x=a(t —sint ）,y=a （1-cost ）（其中02t π≤≤,a>0）绕y 轴旋转一周所得旋转曲面的面积。

五．（本题7分)
证明级数1
(1)n n ∞
=-∑
六．（本题8分）设函数f （x ）在［a ，b ］上有界,请判断下列命题是否正确，若正确，请给出证明;若不正确，请给出反例. （1）|()|b
a
f x dx ⎰
存在2()b
a
f x dx ⇔⎰存在
（2）|()|a
f x dx +∞
⎰
存在⇔2()a
f x dx +∞
⎰
七．（本题7分）设级数
1
n
n a
∞
=∑与1
n n b ∞=∑都收敛，且成立不等式n n n a b c ≤≤（n=1，2,···），证明级数1
n n b ∞
=∑也
收敛.若级数1
n n a ∞
=∑与1
n n b ∞
=∑都发散，试问级数一定发散吗？
八．（本题10分)判断下列积分的敛散性，若收敛，请给出绝对收敛或者条件收敛。

（1）1
cos x
dx x λ
+∞
⎰
,λ〉0
（2）0
ln |1|
p q
x
dx x x +∞
-⎰
，p ＞0，q ＞0
九．（本题8分）设lim n n n
a r
b →∞=，lim n
n n a r b →∞=,且0r r +∞＜＜＜,证明：级数1n n a ∞
=∑与1n n b ∞=∑具有相同的敛散性。

十．（本题8分）
用两种方法计算极限n →∞。