§8.3 量子力学公式的矩阵表示
在引入特定表象后，量子力学中的所有公式都可用 矩阵表述，从而构成矩阵力学在F表象中，力学量L的矩 阵元表示为
而量子态ψ则表示成列矢的形式，即
量子力学的理论表述均可表成矩阵的形式
☻薛定谔方程的矩阵表示
薛定谔方程
在F表象中， 系数为时间t函数，薛定谔方程为
作以下内积
如表象空间的维数为N，则上式是关于L的N次方程，有 个N实根。若有n个重根，则力学量L的本征态是n重简并的。
用解得的根一一代入前面的代数所得方程组 可以得到 ak( j，) 并把它表成列矢的形式
这是与本征值 Lj 相应的本征态在F表象中的表示。
☻力学量的表象变换
按照F表象中的基矢展开
用 k 对上式作内积
同一矢量A在新坐标系中的表示为
矢量A在新坐标系中的投影分量为
矢量A在新旧坐标系中两种表示的关系为何？应当相等， 即
用新坐标系的基矢量分别对上式的后一等式作标积，有
上式可用矩阵形式表示
或记为
其中，
是把矢量A在两坐标系中不同表示的变换矩阵，这是一个幺 正矩阵。若转动角θ一旦给出，两个坐标系之间的旋转变换 关系就完全确定。
同一态矢量（波函数）在不同表象中的关系
该问题相当于同一矢量在直角坐标下经过转动变 换后的两种表示之间的关系。两种表象中的态矢量关 系为
表示成矩阵关系
§8.1 算符的矩阵表示
算符的表象表示
仍以线性空间的矢量作类比
令 用e1、e2对上式作点乘，得
写成矩阵形式，有
即
R(θ)矢量A逆时针转动θ角的变换矩阵，容易证明是它
量子力学中态矢量的表象
假定算符 Fˆ 具有分立的本征值谱，本征方程为
作以下积分
即
，是 与各基矢（ Fˆ 的本征态 m）的内
积。这里的波函数也叫态矢量，属于希尔伯特空间（复数空
间），可以是无穷维的。
把态矢量或其转置共轭写成如下矩阵形式
其归一化条件为
归一化条件写成矩阵形式为
I是单位矩阵。 态矢量在不同的表象中有不同的表示。
直角坐标系的旋转变换
平面直角坐标系Ox1x2中，两坐标轴的基矢可表示为e1、e2， 其标积为
平面上的任一矢量A可表示为
在两个坐标轴上的分量（或投影）为
（A1，A2）称为A在坐标系Ox1x2中的表示。 坐标系Ox1x2沿垂直于自身平面的
轴顺时针转动θ角，成为一个新的坐标 系 Ox1x2 ，单位基矢变为 e1、e2 。在新 坐标系中的两基矢的标积为
即 或
其中 同理可得 式中 由此可以得
即 式中 是从F表象到F'表象间基矢变换的幺正矩阵，即
本章小结
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幺正矩阵。
与此类比，设 经算符 Lˆ 作用后变为 ，即 以F表象（力学量F完全集的本征态 k ）为基矢， 和 分别
表示为
如何通过上式由ak求bk?
力学量算符对态的作用可以写成
矩阵L一旦确定，则所有基矢（因而任何矢量）在 Lˆ 作用下 的变化就完全确定了。
例1 求一维谐振子的坐标x、动量px以及哈密顿量H在 能量表象中的表示。
原子物理与量子力学
第8章 矩阵力学简介
§8.1 态的表象 矩阵简介(Review)
1. N×M矩阵
矩阵A的共轭矩阵
0 i 例如 A i 0
A
0 i
i* 0 0 i

0i A
表象：波函数和力学量算符的不同表示形式。 常用表象：坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象等。
记哈密顿算符的矩阵元为 薛定谔方程变为 表示成矩阵形式
☻平均值公式的矩阵表示 力学量的平均值
即在自身表象中，矩阵元为 代入平均值公式
☻本征值方程的矩阵表示
算符 Lˆ 的本征方程为 在F表象中，任意波函数按其本征态展开 再代入本征方程，得
用ψj作内积，得
即 方程组有非零解的充要条件是系数行列式为零，即 写成矩阵形式
坐标表象
以坐标算符的本征态为基矢构成的表象称为坐标表 象。以一维的x坐标为例，其坐标算符的本征方程为
相应本征函数为 δ(x x)。任意量子态均可以按该本
征函数展开
动量表象
以动量算符的本征态为基矢构成的表象称为动量表象。 以一维的动量算符 pˆ x为例，其本征态（坐标表象）为
任意量子态均可以按该本征函数展开