2.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计）
内容：分数指数幂
一、教学目标
（一）知识目标
（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。

（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。

（二）能力目标
（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．
（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．
（3）训练学生思维的灵活性
（三）德育目标
（1）激发学生自主学习的兴趣
（2）养成良好的学习习惯
教学重点： 次方根的概念及其取值规律。

教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。

教学过程：
一、复习回顾，新课引入：
指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。

引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。

．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出
及 ，同时追问这里 的由来。

二、师生互动，新课讲解：
1.分数指数幂
看下面的例子：
当0>a 时，
（1）2552510)(a a a ==，又5102=，所以510
510a a =； （2）3443412)(a a a ==，又4123=，所以412
412a a =． 从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式． 那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？
根据n 次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：n m n m
a a =（0>a ，1*,,>∈n N n m ）．
0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂无意义.
由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当0<a 时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式． 例如：3273-=-，而3)27(62=-．
规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．
整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．
联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用
(1)a r a s =a r+s (a>0,r,s ∈Q)
(2)(a r )s =a rs (a>0,r,s ∈Q)
(3)(ab)r =a r b r (a>0,b>0, r,∈Q)
3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。

（1） 规定正数的正分数指数幂的意义是：
n m n m
a a = （a>0，m,n ∈N +，且n>1）
（2） 规定正数的负分数指数幂的意义是：
=-m m a n m
a 1
（a>0，m,n ∈N +，且n>1）
（3） 特别指出分数指数幂的底数a 、m 、n 的取值只需式子有意义即可。

例1（课本P51例2）：求值：
23
8；1225-；51()2-；3416()81-
变式训练1： 求下列各式的值：
（1）1225； （2）3227
-； （3）361-⎪⎭⎫ ⎝⎛； （4）431000081-⎪⎭⎫ ⎝⎛． 解 (１) 55)5(25
21221221
===⨯； （2）9
133)3(272)32(332
332
====--⨯--； （3）2166)6(613313===⎪⎭⎫ ⎝⎛---；
（4）27100031010310310000813
343443
=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-．
例2（课本P51例3）用分数指数幂的形式表示下各式（其中a>0） 3a a ；322a a
；
例3（课本P52例4）：计算下列各式（式中字母都是正数） （1）2
11511336622(2)(6)(3)a b a b a b -÷- （2）3
18
84()m n -
（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）
分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的.整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.
我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？
其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.
第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.
解：（1）原式=
211115
326236
[2(6)(3)]a b
+-+-
⨯-÷-=0
4ab=4a
（2）原式=
3
1
88
8
4
()()
m n-=23
m n-
例4：（课本P52例5）计算下列各式
（1
）（2
2
(a＞0）
分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.
解：（1）原式=
111
324 (25125)25
-÷
=
231
322 (55)5
-÷
=
2131 3222 55
--
-
=
1
6
55
-
= 5
（2）原式
=
125
2
2
236
2
1
3
2
a
a a
a a
--
===⋅
小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.
课堂练习：（课本P54练习NO：1；2；3）
三、课堂小结，巩固反思：
1.这堂课的主要内容是什么？
2.做指数运算时有什么需要注意的地方？
这节课我们学习了指数幂的定义，性质以及一些运算。

在学习中，我们应当逐步深入，领悟从整数到根式再到分数的导出过程，理解由特殊到一般的研究方法，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。

四、布置作业
A组：
1、（课本P59习题2.1 A组：NO：2（1）（2）（3））
2、（课本P59习题2.1 A组：NO：4（1）~（8））
3、(tb0112901)下列等式中正确的是（D ）
(A) -x =(-x)21 (x ≠0) (B) x
31-= -3x (C) 3162y y = (y<0) (D) 4343)()(x
y y x =- (xy ≠0) 4、(tb0112902)下列各式成立的是（A ）。

(A) 31
324= (B) 32322)(n m n m +=+ (C) (55)ab a b = (D) 3
1
62)2()2(-=- 5、(tb0112911)化简433
)278(b
a --(a>0,b>0)的结果是（C ）。

(A)
b a 23 (B) -b a 23 (C) 448116b a (D) -44811b
a 6、(tb0113012)34
329
-b a (a>0,b>0)化简得（C ）。

(A) 43
23
-b a (B)31
31
-b a (C) 41
23
-b a (D) 49
31
-b a
B 组：
1、（课本P59习题 2.1 B 组：NO ：2）。