第四章随机变量的数字特征§1数学期望一、离散型随机变量的数学期望先通过下面的实例说明数学期望的直观含义． 某车间共有４台机床，这些机床由于各种原因时而工作时而停机，因而在任意时刻工作着的机床数X 是一随机变量。

为评估该车间机床的使用效率，需要知道车间中同时工作着的机床的平均数．作了20次观察，结果如下：从表中可看出，在20次观察中，有1次“1台工作”， 有3次“2台工作”， 有9次“3台工作”， 有7次“4台工作”， “机床都不工作”的情况未出现．在20次观察中，工作机床总数为001123394762⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=。

所以，车间中同时工作机床的平均数为62/20(0011233947)/200(0/20)1(1/20)2(3/20)3(9/20)4(7/20)3.1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 式中，0/20、1/20、3/20、9/20、7/20是X 的5种可能取值的频率，或概率的近似值。

可以看出，X 的平均数并不是X 的5种可能取值的简单算术平均数(01234)/5++++=2。

这种简单的算术平均数不能真实反映出随机变量X 的平均情况，因为X 取各个值的可能性即概率是不相等的。

这个“平均数”应是随机变量所有可能取的值与相应概率的乘积之和，即以概率为权数的加权平均值。

为此，我们引入数学期望这一概念。

定义1 设离散型随机变量X 的分布律为i i p x X P ==}{ ),2,1( =i ，若级数∑∞=1i ii px 绝对收敛，则称级数∑∞=1i ii px 的和为随机变量X 的数学期望，简称期望或均值，记作)(X E ，即++++==∑∞=n n i i i p x p x p x p x X E 22111)(。

【例1】 吴书p.90.例1。

【例2】 设),1(~p b X ，求)(X E 。

解 设X 的分布律为则它的数学期望p p p X E =⨯+-⨯=1)1(0)(【例3】 吴书p.91.例2（盛书p.92.例6）。

设)(~λπX ，求)(X E 。

二、连续型随机变量的数学期望定义2 设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，若反常积分⎰+∞∞-dx x xf )(绝对收敛，则称反常积分⎰+∞∞-dx x xf )(的值为随机变量X 的数学期望，记作)(X E ，即⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(【例4】 吴书p.92.例4（盛书p.92.例7）。

设随机变量X 在区间),(b a 内服从均匀分布，求)(X E 。

【例5】 吴书p.92.例5。

设随机变量X 服从参数为)0(>λλ的指数分布，求)(X E 。

三、二维随机变量的数学期望定义3 二维随机变量),(Y X 的数学期望为),(),(EY EX Y X E =。

设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ ),2,1,( =j i ，则 ij i j i i i i p x px X E ∑∑∑+∞=+∞=+∞=∙==111)(ij i j j j j jp y p yY E ∑∑∑+∞=+∞=+∞=∙==111)(设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度为),(y x f ，则⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-==dxdy y x xf dx x xf X E X ),()()(⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞∞-==dxdy y x yf dy y yf Y E Y ),()()(【例6】 吴书p.93.例7。

设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=01012),(2x y y y x f求)(),(Y E X E 。

四、随机变量函数的数学期望设X 是一个随机变量且已知其概率分布，则作为X 的函数)(X g Y =也是一个随机变量。

要计算Y 的数学期望，可以先由X 的概率分布求出Y 的概率分布，再按期望定义求)(Y E 。

但更方便的是利用X 的分布及Y 与X 的函数关系直接计算Y 的数学期望。

定理1 设离散型随机变量X 的分布律为i i p x X P ==}{ ),2,1( =i ，)(x g 是实值连续函数，且级数∑∞=1)(i i i p x g 绝对收敛，则随机变量函数)(X g Y =的数学期望为∑∞==1)()]([i i i p x g X g E 。

定理2 设连续型随机变量X 的概率密度为)(x f ，)(x g 是实值连续函数，且反常积分⎰+∞∞-dx x f x g )()(绝对收敛，则随机变量函数)(X g Y =的数学期望为⎰+∞∞-=dx x f x g X g E )()()]([。

【例7】 吴书p.94.例8。

设随机变量X 的分布律为10.015.020.025.020.010.0321012P X -- 求随机变量函数2X Y =的数学期望。

【例8】 吴书p.95.例9。

设随机变量X 在区间),0(π内服从均匀分布，求随机变量函数X Y sin =的数学期望。

【例9】 吴书p.95.例10。

设)1,0(~N X ，求)(),(2X E X E 。

【例10】 吴书p.95.例11。

求使商店所获利润最大的进货量。

定理3 设二维离散型随机变量),(Y X 的联合分布律为ij j i p y Y x X P ===},{ ),2,1,( =j i ，),(y x g 是实值连续函数，且级数∑∑∞=∞=11),(i j ij jip yx g 绝对收敛，则随机变量函数),(Y X g Z =的数学期望为∑∑∞=∞==11),()],([i j ij j i p j x g Y X g E 。

定理4 设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度为),(y x f ，),(y x g 是实值连续函数，且反常积分dy dx y x f y x g ⎰⎰+∞∞-+∞∞-),(),(绝对收敛，则随机变量函数),(Y X g Z =的数学期望为dy dx y x f y x g Y X g E ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=),(),()],([。

【例11】 吴书p.97.例12。

求随机变量函数Y X Z +=的数学期望。

五、数学期望的性质下面给出数学期望的几个性质，并假设所提到的数学期望均存在． 性质１ ()E c c = （c 为常数）。

性质２ )()(X cE cX E = （c 为常数）。

性质3 设Y X ,是任意两个随机变量，则有)()()(Y E X E Y X E +=+。

这一性质可推广到有限个随机变量的情形，即)()()()(2121n n X E X E X E X X X E +++=+++ 。

性质4 设Y X ,是两个相互独立的随机变量，则有)()()(Y E X E XY E =。

这一性质也可推广到有限个相互独立的随机变量的情形，即有)()()()(2121n n X E X E X E X X X E =。

运用数学期望的这些性质，可以简化一些随机变量数学期望的计算。

【例12】 吴书p.98.例13。

设),(~2σμN X ，求)(X E 。

【例13】 吴书p.98.例14。

设),(~p n b X ，求)(X E 。

【例14】 吴书p.99.例15（盛书p.97.例12）。

求停车次数X 的数学期望。

以上两例中，将X 分解为n 个随机变量之和，然后利用随机变量之和的数学期望等于随机变量数学期望之和的性质，来求数学期望的这种处理方法，具有一定的普遍意义。

【例15】盛书p.98.例13。

设电路中电流)(A I 与电阻)(ΩR 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为⎩⎨⎧≤≤=0102)(i i i g ， ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=0309)(2r r r h试求电压IR V =的均值。

§2方差一、方差的定义在许多实际问题中，往往只知道随机变量的数学期望是不够的，还需要知道随机变量取值与其均值的偏离程度。

先看下面的例子。

在相同的条件下，甲、乙两人对长度为a 的某零件进行测量，测量结果分别用Y X ,表示，已知Y X ,的概率分布如下：容易算出，a Y E X E ==)()(，即甲、乙两人测量的平均值是相同的，这时仅用数学期望比较不出甲、乙两人测量技术的好坏。

但从以上列表分布大致可以看到，X 取值比Y 取值更集中于数学期望a 附近，说明甲的测量技术比乙好。

为了定量表示这种集中程度，需要用一个数值来刻划随机变量取值与其数学期望偏差的大小。

为此，我们引入方差这一概念。

定义 设X 是一个随机变量，若2)]([X E X E -存在，则称2)]([X E X E -为X 的方差，记为)(X D 或)(X Var ，即2)]([)()(X E X E X Var X D -==，还引入与X 具有相同量纲的量)(X D ，记为)(X σ，称为标准差或均方差。

显然方差的大小反映了随机变量X 取值的分散程度：方差越大，则X 取值越分散；方差越小，则X 取值越集中。

对离散型随机变量X∑∞=-=12)]([)(i i i p X E x X D 。

对连续型随机变量Xdx x f X E x X D )()]([)(2⎰+∞∞--=。

对于方差，常用以下公式计算：22)]([)()(X E X E X D -=。

【例1’】 设随机变量X 表示掷一颗骰子出现的点数，求X 的期望和方差。

解X 的分布律为 6/1)(==k X P ，(1,2,,6k =)。

由期望的定义有2/76/1)654321()(=⨯+++++=X E对于方差的计算：方法1 直接由方差的定义式， 2612)2/7()6/1()]([)(∑=-=-=k k X E X E X D222222(1/6)[(5/2)(3/2)(1/2)(1/2)(3/2)(5/2)]35/12=-+-+-+++=。

方法2 应用方差的常用公式，因为 6/91)654321)(6/1()(2222222=+++++=X E 所以 12/35)2/7(6/91)]([)()(222=-=-=X E X E X D 。

一般来说，用方法2计算更方便些。

【例1】吴书p.102.例1（盛书p.99.例2）。

设随机变量)10(~-X分布，求)(X D 。

【例2】吴书p.102.例2（盛书p.99.例3）。

设随机变量)(~λπX 分布，求)(X D 。

【例3】吴书p.102.例3（盛书p.100.例4）。

设随机变量),(~b a U X分布，求)(X D 。

【例4】吴书p.103.例4（盛书p.100.例5）。

设随机变量)(~λE X 分布，求)(X D 。

二、方差的性质性质１ ()0D c = (c 为常数)。